Решите графически уравнение $2^x+x^2-2x-1=0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму корней.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите графически уравнение $2^x+x^2-2x-1=0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму корней.$ Фото задания

Решите графически уравнение $2^x+x^2-2x-1=0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму корней.

Accepted Answer

Рассмотрим графики функций $y=2^x$ и $y=-x^2+2x+1$. Их точки пересечения задают корни уравнения.

При $x=0$: $2^0=1$ и $-0^2+2\cdot0+1=1$, поэтому $x=0$ — корень.

При $x=2$: $2^2=4$ и $-2^2+2\cdot2+1=1$ — это не равенство; проверим исходное уравнение: $4+4-4-1=3$, значит, $x=2$ не является корнем. При $x=1$: $2+1-2-1=0$, поэтому $x=1$ — корень.

На промежутке $x<0$ выражение $2^x+x^2-2x-1$ строго убывает: его производная $2^x\ln 2+2x-2<0$; поскольку значение при $x=0$ равно нулю, других корней слева нет. При $x>0$ функция сначала убывает, затем возрастает, а уже имеет корень $x=1$; также можно заметить, что при $x\ge1$ производная положительна, поэтому после этого корня новых нет. На $(0,1)$ производная отрицательна, так что дополнительных корней там тоже нет.

Ответ: сумма корней равна 1.

Решите графически уравнение \(2^x+x^2-2x-1=0\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму корней.

Ответ: