Решите графически систему уравнений: y = x², x = y - 12. Сколько решений имеет эта система?

Решение:

Для решения системы уравнений графически построим графики двух функций:

1. \( y = x^2 \) — парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх.
2. \( x = y - 12 \) или \( y = x + 12 \) — прямая, проходящая через точки \( (-12, 0) \) и \( (0, 12) \).

Найдём точки пересечения графиков. Подставим \( x^2 \) вместо \( y \) во второе уравнение:

\( x = x^2 - 12 \)

\( x^2 - x - 12 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = -3 \)

Найдем соответствующие значения \( y \):

При \( x_1 = 4 \): \( y_1 = 4^2 = 16 \).

При \( x_2 = -3 \): \( y_2 = (-3)^2 = 9 \).

Точки пересечения: \( (4, 16) \) и \( (-3, 9) \).

Графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2