Решить уравнение \(\sqrt{11 + 5x} = x + 3\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ 11 + 5x = (x + 3)^2 \]\[ 11 + 5x = x^2 + 6x + 9 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 6x + 9 - 11 - 5x = 0 \]\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.

Найдем корни по формуле:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Проверим оба корня в исходном уравнении.

Для \( x = 1 \): \(\sqrt{11 + 5 \cdot 1} = \sqrt{16} = 4\). \( x + 3 = 1 + 3 = 4 \). \( 4 = 4 \). Корень подходит.

Для \( x = -2 \): \(\sqrt{11 + 5 \cdot (-2)} = \sqrt{11 - 10} = \sqrt{1} = 1\). \( x + 3 = -2 + 3 = 1 \). \( 1 = 1 \). Корень подходит.

Оба корня подходят. Больший из них равен 1.

Ответ: 1