4 Решить уравнение: 1) log₅ (3x + 1) = 2; 2) log₃ (x + 2) + log₃ x = 1; 3) ln (x²-6x + 9) = ln 3 + ln (x + 3).

Решим каждое уравнение по отдельности.

1. $$log_5 (3x + 1) = 2$$

   По определению логарифма:

   $$3x + 1 = 5^2$$

   $$3x + 1 = 25$$

   $$3x = 24$$

   $$x = 8$$

   Проверим:

   $$log_5 (3 \cdot 8 + 1) = log_5 25 = log_5 5^2 = 2$$

   Ответ: 8

2. $$log_3 (x + 2) + log_3 x = 1$$

   Используем свойство логарифмов: $$log_a b + log_a c = log_a (b \cdot c)$$

   $$log_3 ((x + 2) \cdot x) = 1$$

   $$log_3 (x^2 + 2x) = 1$$

   По определению логарифма:

   $$x^2 + 2x = 3^1$$

   $$x^2 + 2x - 3 = 0$$

   Решим квадратное уравнение через дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

   $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

   Проверим:

   $$x = 1$$

   $$log_3 (1 + 2) + log_3 1 = log_3 3 + log_3 1 = 1 + 0 = 1$$

   $$x = -3$$

   Т.к. логарифм определен только для положительных чисел, то $$x = -3$$ не является решением.

   Ответ: 1

3. $$ln (x^2 - 6x + 9) = ln 3 + ln (x + 3)$$

   Используем свойство логарифмов: $$log_a b + log_a c = log_a (b \cdot c)$$

   $$ln (x^2 - 6x + 9) = ln (3(x + 3))$$

   Т.к. логарифмы равны, то и аргументы равны:

   $$x^2 - 6x + 9 = 3(x + 3)$$

   $$x^2 - 6x + 9 = 3x + 9$$

   $$x^2 - 9x = 0$$

   $$x(x - 9) = 0$$

   $$x_1 = 0$$

   $$x_2 = 9$$

   Проверим:

   $$x = 0$$

   $$ln (0^2 - 6 \cdot 0 + 9) = ln 9$$

   $$ln 3 + ln (0 + 3) = ln 3 + ln 3 = ln (3 \cdot 3) = ln 9$$

   $$x = 9$$

   $$ln (9^2 - 6 \cdot 9 + 9) = ln (81 - 54 + 9) = ln 36$$

   $$ln 3 + ln (9 + 3) = ln 3 + ln 12 = ln (3 \cdot 12) = ln 36$$

   Ответ: 0; 9