Решить уравнение, используя метод подбора частного решения 9.6.5 y'' - 4y' = 16x+4

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

\( y = y_0 + y_x \)

1. Найдём общее решение однородного уравнения:

\( y'' - 4y' = 0 \)

Составим характеристическое уравнение:

\( k^2 - 4k = 0 \)

\( k(k-4) = 0 \)

Корни характеристического уравнения: \( k_1 = 0 \), \( k_2 = 4 \).

Общее решение однородного уравнения:

\( y_0 = C_1 e^{0x} + C_2 e^{4x} = C_1 + C_2 e^{4x} \), где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные постоянные.

2. Найдём частное решение неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов:

Правая часть уравнения \( f(x) = 16x + 4 \) — многочлен первой степени. Ищем частное решение в виде многочлена той же степени:

\( y_x = Ax + B \)

Найдём первую и вторую производные:

\( y_x' = A \)

\( y_x'' = 0 \)

Подставим \( y_x \), \( y_x' \) и \( y_x'' \) в исходное неоднородное уравнение:

\( 0 - 4(A) = 16x + 4 \)

\( -4A = 16x + 4 \)

Чтобы равенство выполнялось для всех \( x \), приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \( x \):

При \( x \): \( 0 = 16 \) — это противоречие. Это означает, что наш первоначальный вид частного решения не подходит, так как \( k=0 \) является корнем характеристического уравнения. В этом случае частное решение нужно искать в виде:

\( y_x = x(Ax + B) = Ax^2 + Bx \)

Найдём производные:

\( y_x' = 2Ax + B \)

\( y_x'' = 2A \)

Подставим в исходное уравнение:

\( 2A - 4(2Ax + B) = 16x + 4 \)

\( 2A - 8Ax - 4B = 16x + 4 \)

\( -8Ax + (2A - 4B) = 16x + 4 \)

Приравняем коэффициенты:

При \( x \): \( -8A = 16 \) → \( A = \frac{16}{-8} = -2 \)

Свободные члены: \( 2A - 4B = 4 \)

Подставим \( A = -2 \):

\( 2(-2) - 4B = 4 \)

\( -4 - 4B = 4 \)

\( -4B = 8 \)

\( B = \frac{8}{-4} = -2 \)

Итак, частное решение:

\( y_x = -2x^2 - 2x \)

3. Запишем общее решение неоднородного уравнения:

\( y = y_0 + y_x = C_1 + C_2 e^{4x} - 2x^2 - 2x \)

Ответ: \( y = C_1 + C_2 e^{4x} - 2x^2 - 2x \).