Решить уравнение \(\frac{(a-1)x^2+ax-2}{x^2-4} = 0\) при \(a = 3\).

Решение:

Подставим \(a = 3\) в уравнение:

\(\frac{(3-1)x^2+3x-2}{x^2-4} = 0\)

\(\frac{2x^2+3x-2}{x^2-4} = 0\)

Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю.

1. Приравниваем числитель к нулю:

\(2x^2+3x-2 = 0\)

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5\)

Найдем корни:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2\)

2. Проверяем знаменатель:

Знаменатель \(x^2-4\) не должен быть равен нулю.

\(x^2-4 \neq 0\)

\(x^2 \neq 4\)

\(x \neq 2\) и \(x \neq -2\)

3. Сравниваем корни с условиями знаменателя:

Корень \(x_1 = \frac{1}{2}\) удовлетворяет условию \(x \neq \pm 2\).

Корень \(x_2 = -2\) не удовлетворяет условию \(x \neq -2\), так как при \(x = -2\) знаменатель обращается в ноль.

Следовательно, уравнение имеет один корень \(x = \frac{1}{2}\).

Ответ: x = \(\frac{1}{2}\)