Решить уравнение: \(\frac{2 \cos^3 x + 2\sqrt{2} \cos^2 x + \cos x}{\sqrt{-\sin x}} = 0\). Найти все корни уравнения на отрезке \([\pi; 3\pi]\).

Решение:

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Числитель равен нулю:

\( 2 \cos^3 x + 2\sqrt{2} \cos^2 x + \cos x = 0 \)

Вынесем \( \cos x \) за скобки:

\( \cos x (2 \cos^2 x + 2\sqrt{2} \cos x + 1) = 0 \)

Это означает, что либо \( \cos x = 0 \), либо \( 2 \cos^2 x + 2\sqrt{2} \cos x + 1 = 0 \).

Случай 1: \( \cos x = 0 \)

Корни этого уравнения: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — целое число.

Случай 2: \( 2 \cos^2 x + 2\sqrt{2} \cos x + 1 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Пусть \( y = \cos x \). Тогда \( 2y^2 + 2\sqrt{2}y + 1 = 0 \).

Найдем дискриминант:

\[ D = (2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8 - 8 = 0 \]

Так как \( D = 0 \), уравнение имеет один корень:

\[ y = \frac{-2\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Следовательно, \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Корни этого уравнения: \( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

2. Знаменатель не равен нулю:

\( \sqrt{-\sin x} \neq 0 \)

Это значит, что \( -\sin x \neq 0 \), то есть \( \sin x \neq 0 \).

Корни \( \sin x = 0 \) — это \( x = \pi m \), где \( m \) — целое число.

Также из подкоренного выражения следует, что \( -\sin x \ge 0 \), то есть \( \sin x \le 0 \).

3. Проверка условий на отрезке \([\pi; 3\pi]\):

Рассмотрим корни \( \cos x = 0 \) на отрезке \([\pi; 3\pi]\):

• Если \( n = 1 \), \( x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \). На этом значении \( \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 \), что удовлетворяет условиям \( \sin x \neq 0 \) и \( \sin x \le 0 \).
• Если \( n = 2 \), \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \). На этом значении \( \sin(\frac{5\pi}{2}) = 1 \), что не удовлетворяет условию \( \sin x \le 0 \).

Рассмотрим корни \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) на отрезке \([\pi; 3\pi]\):

• При \( k = 1 \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \). На этом значении \( \sin(\frac{17\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2} \), что не удовлетворяет условию \( \sin x \le 0 \).
• При \( k = 0 \), \( x = -\frac{5\pi}{6} \) (вне отрезка).
• Рассмотрим \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \). При \( k = 1 \), \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} \). На этом значении \( \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \), что удовлетворяет условиям \( \sin x \neq 0 \) и \( \sin x \le 0 \).
• При \( k = 2 \), \( x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} \). На этом значении \( \sin(\frac{19\pi}{6}) = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \), что удовлетворяет условиям \( \sin x \neq 0 \) и \( \sin x \le 0 \).

Проверим, что \( \sin x \le 0 \) на отрезке \([\pi; 3\pi]\). \( \sin x \le 0 \) на отрезках \([\pi; 2\pi]\) и \([3\pi; 4\pi]\), и так далее. Следовательно, на отрезке \([\pi; 3\pi]\) нам подходят значения \( x \) такие, что \( \pi \le x \le 2\pi \) и \( 3\pi \le x \le 3\pi \).

Проверим корни \( \cos x = 0 \): \( x = \frac{3\pi}{2} \) (удовлетворяет \( \sin x < 0 \)) и \( x = \frac{5\pi}{2} \) (не удовлетворяет \( \sin x < 0 \)).

Проверим корни \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \): \( x = \frac{7\pi}{6} \) (удовлетворяет \( \sin x < 0 \)) и \( x = \frac{17\pi}{6} \) (не удовлетворяет \( \sin x < 0 \)).

Таким образом, подходящие корни на отрезке \([\pi; 3\pi]\) это \( \frac{3\pi}{2} \) и \( \frac{7\pi}{6} \).

Ответ: \( \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} \).