Решить уравнение 1. 1) 1 + 7 cos² x = 3 sin 2x; 2) 3 + sin 2x = 4 sin² x; 2. Решить уравнение 1) (tg x-√3) (2 sin x/12 +1) = 0; 2) (1-√2 cos x/4)(1+√3 tg x) = 0; 3) (2 sin(x+π/6)-1) (2 tg x + 1) = 0; 4) (1+√2 cos(x+π/4)) (tg x-3) = 0.

1. Решить уравнение

1) 1 + 7 cos² x = 3 sin 2x

• Преобразуем уравнение, используя sin 2x = 2 sin x cos x и cos² x = 1 - sin² x:

\[1 + 7(1 - sin^2 x) = 3(2 sin x cos x)\] \[8 - 7 sin^2 x = 6 sin x cos x\]

• Разделим обе части уравнения на cos² x (если cos x ≠ 0):

\[8/cos^2 x - 7 tan^2 x = 6 tan x\]

• Используем тождество 1/cos² x = 1 + tan² x:

\[8(1 + tan^2 x) - 7 tan^2 x = 6 tan x\] \[8 + 8 tan^2 x - 7 tan^2 x = 6 tan x\] \[tan^2 x - 6 tan x + 8 = 0\]

• Решаем квадратное уравнение относительно tan x. Пусть t = tan x:

\[t^2 - 6t + 8 = 0\] \[(t - 4)(t - 2) = 0\] \[t_1 = 4, t_2 = 2\]

• Находим x:

\[tan x = 4 \Rightarrow x = arctan(4) + \pi n, n \in Z\] \[tan x = 2 \Rightarrow x = arctan(2) + \pi k, k \in Z\]

2) 3 + sin 2x = 4 sin² x

• Преобразуем уравнение, используя sin 2x = 2 sin x cos x и sin² x = (1 - cos 2x) / 2:

\[3 + 2 sin x cos x = 4 sin^2 x\] \[3 + 2 sin x cos x = 2(1 - cos 2x)\] \[3 + 2 sin x cos x = 2 - 2 cos 2x\] \[1 + 2 sin x cos x + 2 cos 2x = 0\] \[1 + sin 2x + 2 cos 2x = 0\]

• Представим 1 как sin² x + cos² x и получим:

\[sin^2 x + cos^2 x + 2 sin x cos x = 4 sin^2 x\] \[(sin x + cos x)^2 = 4 sin^2 x\] \[sin x + cos x = \pm 2 sin x\]

• Решаем для каждого случая:

\[cos x = sin x \Rightarrow tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z\] \[cos x = -3 sin x \Rightarrow tan x = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k, k \in Z\]

2. Решить уравнение

1) (tg x - √3) (2 sin x/12 + 1) = 0

• Решаем tg x - √3 = 0:

\[tg x = \sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z\]

• Решаем 2 sin (x/12) + 1 = 0:

\[sin \frac{x}{12} = -\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{12} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{x}{12} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z\] \[x = -2\pi + 24\pi k, x = 14\pi + 24\pi k, k \in Z\]

2) (1 - √2 cos x/4)(1 + √3 tg x) = 0

• Решаем 1 - √2 cos (x/4) = 0:

\[cos \frac{x}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \frac{x}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z\] \[x = \pm \pi + 8\pi n, n \in Z\]

• Решаем 1 + √3 tg x = 0:

\[tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z\]

3) (2 sin (x + π/6) - 1) (2 tg x + 1) = 0

• Решаем 2 sin (x + π/6) - 1 = 0:

\[sin (x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \Rightarrow x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z\] \[x = 2\pi n, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z\]

• Решаем 2 tg x + 1 = 0:

\[tg x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k, k \in Z\]

4) (1 + √2 cos (x + π/4)) (tg x - 3) = 0

• Решаем 1 + √2 cos (x + π/4) = 0:

\[cos (x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z\] \[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = -\pi + 2\pi n, n \in Z\]

• Решаем tg x - 3 = 0:

\[tg x = 3 \Rightarrow x = arctan(3) + \pi k, k \in Z\]