Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Решим каждую систему уравнений методом Крамера.
Система а)
\( \begin{cases} 2x + 4y + z = 4 \\ 3x + 6y + 2z = 4 \\ 4x - y - 3z = 1 \end{cases} \)
Основной определитель системы \( D \):
\[ D = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 2 \\ 4 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 2(6(-3) - 2(-1)) - 4(3(-3) - 2(4)) + 1(3(-1) - 6(4)) \\ = 2(-18 + 2) - 4(-9 - 8) + 1(-3 - 24) \\ = 2(-16) - 4(-17) + 1(-27) \\ = -32 + 68 - 27 = 9 \]
Определитель для \( x \), \( D_x \):
\[ D_x = \begin{vmatrix} 4 & 4 & 1 \\ 4 & 6 & 2 \\ 1 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 4(6(-3) - 2(-1)) - 4(4(-3) - 2(1)) + 1(4(-1) - 6(1)) \\ = 4(-18 + 2) - 4(-12 - 2) + 1(-4 - 6) \\ = 4(-16) - 4(-14) + 1(-10) \\ = -64 + 56 - 10 = -18 \]
Определитель для \( y \), \( D_y \):
\[ D_y = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 2(4(-3) - 2(1)) - 4(3(-3) - 2(4)) + 1(3(1) - 4(4)) \\ = 2(-12 - 2) - 4(-9 - 8) + 1(3 - 16) \\ = 2(-14) - 4(-17) + 1(-13) \\ = -28 + 68 - 13 = 27 \]
Определитель для \( z \), \( D_z \):
\[ D_z = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 4 \\ 3 & 6 & 4 \\ 4 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2(6(1) - 4(-1)) - 4(3(1) - 4(4)) + 4(3(-1) - 6(4)) \\ = 2(6 + 4) - 4(3 - 16) + 4(-3 - 24) \\ = 2(10) - 4(-13) + 4(-27) \\ = 20 + 52 - 108 = -36 \]
Находим значения переменных:
\( x = \frac{D_x}{D} = \frac{-18}{9} = -2 \)
\( y = \frac{D_y}{D} = \frac{27}{9} = 3 \)
\( z = \frac{D_z}{D} = \frac{-36}{9} = -4 \)
Ответ для а): \( x = -2, y = 3, z = -4 \)
Система в)
\( \begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ -x + 3y + 2z = -2 \\ 4x - 2y - z = 9 \end{cases} \)
Основной определитель системы \( D \):
\[ D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 4 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 2(3(-1) - 2(-2)) - (-1)((-1)(-1) - 2(4)) + 1((-1)(-2) - 3(4)) \\ = 2(-3 + 4) + 1(1 - 8) + 1(2 - 12) \\ = 2(1) + 1(-7) + 1(-10) \\ = 2 - 7 - 10 = -15 \]
Определитель для \( x \), \( D_x \):
\[ D_x = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \\ 9 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 3(3(-1) - 2(-2)) - (-1)((-2)(-1) - 2(9)) + 1((-2)(-2) - 3(9)) \\ = 3(-3 + 4) + 1(2 - 18) + 1(4 - 27) \\ = 3(1) + 1(-16) + 1(-23) \\ = 3 - 16 - 23 = -36 \]
Определитель для \( y \), \( D_y \):
\[ D_y = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & 2 \\ 4 & 9 & -1 \end{vmatrix} = 2((-2)(-1) - 2(9)) - 3((-1)(-1) - 2(4)) + 1((-1)(9) - (-2)(4)) \\ = 2(2 - 18) - 3(1 - 8) + 1(-9 + 8) \\ = 2(-16) - 3(-7) + 1(-1) \\ = -32 + 21 - 1 = -12 \]
Определитель для \( z \), \( D_z \):
\[ D_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 3 & -2 \\ 4 & -2 & 9 \end{vmatrix} = 2(3(9) - (-2)(-2)) - (-1)((-1)(9) - (-2)(4)) + 3((-1)(-2) - 3(4)) \\ = 2(27 - 4) + 1(-9 + 8) + 3(2 - 12) \\ = 2(23) + 1(-1) + 3(-10) \\ = 46 - 1 - 30 = 15 \]
Находим значения переменных:
\( x = \frac{D_x}{D} = \frac{-36}{-15} = \frac{12}{5} = 2.4 \)
\( y = \frac{D_y}{D} = \frac{-12}{-15} = \frac{4}{5} = 0.8 \)
\( z = \frac{D_z}{D} = \frac{15}{-15} = -1 \)
Ответ для в): \( x = 2.4, y = 0.8, z = -1 \)
Система б)
\( \begin{cases} x - 2y + 4z = -12 \\ 2x + 2z = -2 \\ 4x - 2y - z = 9 \end{cases} \)
Основной определитель системы \( D \):
\[ D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ 4 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 1(0(-1) - 2(-2)) - (-2)(2(-1) - 2(4)) + 4(2(-2) - 0(4)) \\ = 1(0 + 4) + 2(-2 - 8) + 4(-4 - 0) \\ = 1(4) + 2(-10) + 4(-4) \\ = 4 - 20 - 16 = -32 \]
Определитель для \( x \), \( D_x \):
\[ D_x = \begin{vmatrix} -12 & -2 & 4 \\ -2 & 0 & 2 \\ 9 & -2 & -1 \end{vmatrix} = -12(0(-1) - 2(-2)) - (-2)((-2)(-1) - 2(9)) + 4((-2)(-2) - 0(9)) \\ = -12(0 + 4) + 2(2 - 18) + 4(4 - 0) \\ = -12(4) + 2(-16) + 4(4) \\ = -48 - 32 + 16 = -64 \]
Определитель для \( y \), \( D_y \):
\[ D_y = \begin{vmatrix} 1 & -12 & 4 \\ 2 & -2 & 2 \\ 4 & 9 & -1 \end{vmatrix} = 1((-2)(-1) - 2(9)) - (-12)(2(-1) - 2(4)) + 4(2(9) - (-2)(4)) \\ = 1(2 - 18) + 12(-2 - 8) + 4(18 + 8) \\ = 1(-16) + 12(-10) + 4(26) \\ = -16 - 120 + 104 = -32 \]
Определитель для \( z \), \( D_z \):
\[ D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -12 \\ 2 & 0 & -2 \\ 4 & -2 & 9 \end{vmatrix} = 1(0(9) - (-2)(-2)) - (-2)(2(9) - (-2)(4)) + (-12)(2(-2) - 0(4)) \\ = 1(0 - 4) + 2(18 + 8) - 12(-4 - 0) \\ = 1(-4) + 2(26) - 12(-4) \\ = -4 + 52 + 48 = 96 \]
Находим значения переменных:
\( x = \frac{D_x}{D} = \frac{-64}{-32} = 2 \)
\( y = \frac{D_y}{D} = \frac{-32}{-32} = 1 \)
\( z = \frac{D_z}{D} = \frac{96}{-32} = -3 \)
Ответ для б): \( x = 2, y = 1, z = -3 \)
Система г)
\( \begin{cases} x + 2y + 3z = 6 \\ 4x + y + 4z = 9 \\ 3x + 5y + 2z = 10 \end{cases} \)
Основной определитель системы \( D \):
\[ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 4 \\ 3 & 5 & 2 \end{vmatrix} = 1(1(2) - 4(5)) - 2(4(2) - 4(3)) + 3(4(5) - 1(3)) \\ = 1(2 - 20) - 2(8 - 12) + 3(20 - 3) \\ = 1(-18) - 2(-4) + 3(17) \\ = -18 + 8 + 51 = 41 \]
Определитель для \( x \), \( D_x \):
\[ D_x = \begin{vmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 9 & 1 & 4 \\ 10 & 5 & 2 \end{vmatrix} = 6(1(2) - 4(5)) - 2(9(2) - 4(10)) + 3(9(5) - 1(10)) \\ = 6(2 - 20) - 2(18 - 40) + 3(45 - 10) \\ = 6(-18) - 2(-22) + 3(35) \\ = -108 + 44 + 105 = 41 \]
Определитель для \( y \), \( D_y \):
\[ D_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 4 & 9 & 4 \\ 3 & 10 & 2 \end{vmatrix} = 1(9(2) - 4(10)) - 6(4(2) - 4(3)) + 3(4(10) - 9(3)) \\ = 1(18 - 40) - 6(8 - 12) + 3(40 - 27) \\ = 1(-22) - 6(-4) + 3(13) \\ = -22 + 24 + 39 = 41 \]
Определитель для \( z \), \( D_z \):
\[ D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 4 & 1 & 9 \\ 3 & 5 & 10 \end{vmatrix} = 1(1(10) - 9(5)) - 2(4(10) - 9(3)) + 6(4(5) - 1(3)) \\ = 1(10 - 45) - 2(40 - 27) + 6(20 - 3) \\ = 1(-35) - 2(13) + 6(17) \\ = -35 - 26 + 102 = 41 \]
Находим значения переменных:
\( x = \frac{D_x}{D} = \frac{41}{41} = 1 \)
\( y = \frac{D_y}{D} = \frac{41}{41} = 1 \)
\( z = \frac{D_z}{D} = \frac{41}{41} = 1 \)
Ответ для г): \( x = 1, y = 1, z = 1 \)
