Решить систему уравнений: \(\begin{cases} 5x^2 + y = 12 \\ 9x^2 - y = 2 \end{cases}\)

Решение:

Данная система уравнений включает квадратичные члены. Для её решения удобно использовать метод сложения.

1. Сложим оба уравнения системы, чтобы исключить переменную \( y \):
   \((5x^2 + y) + (9x^2 - y) = 12 + 2\)
   \(5x^2 + 9x^2 + y - y = 14\)
   \(14x^2 = 14\)
2. Разделим обе части уравнения на 14, чтобы найти \( x^2 \):
   \(x^2 = \frac{14}{14}\)
   \(x^2 = 1\)
3. Извлечём квадратный корень из обеих частей, чтобы найти значения \( x \):
   \(x = \pm\sqrt{1}\)
   \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\)
4. Подставим каждое значение \( x \) в одно из исходных уравнений (например, во второе: \( 9x^2 - y = 2 \)) для нахождения соответствующих значений \( y \).
   Для \( x_1 = 1 \):
   \(9(1)^2 - y = 2\)
   \(9 - y = 2\)
   \(y = 9 - 2\)
   \(y_1 = 7\)
5. Для \( x_2 = -1 \):
   \(9(-1)^2 - y = 2\)
   \(9(1) - y = 2\)
   \(9 - y = 2\)
   \(y = 9 - 2\)
   \(y_2 = 7\)

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: \((1; 7), (-1; 7)\).