, Решить письменно: 1. Какова вероятность того, что при 10 подбрасываниях мнетки 5 раз выпадет орел? Как изменится решение, если нужно найти вероятность выпадения 5 орлов подряд? 2. Стрелок каждым выстрелом попадает в мишень с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что при 4 выстрелах он попадет в мишень хотя бы 1 раз?

Решение:

Задача 1:

Используем формулу Бернулли для расчета вероятности того, что при 10 подбрасываниях монеты орел выпадет ровно 5 раз. Формула Бернулли выглядит следующим образом:

\[P(X = k) = C_n^k * p^k * (1-p)^(n-k)\]

Где:

• \(n\) - общее количество испытаний (в данном случае, подбрасываний монеты), \(n = 10\).
• \(k\) - количество успешных испытаний (количество выпадений орла), \(k = 5\).
• \(p\) - вероятность успеха в одном испытании (вероятность выпадения орла при одном подбрасывании), \(p = 0.5\).
• \(C_n^k\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\), которое рассчитывается как \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Подставим значения в формулу:

\[P(X = 5) = C_{10}^5 * (0.5)^5 * (0.5)^5\]

Рассчитаем \(C_{10}^5\):

\[C_{10}^5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10*9*8*7*6}{5*4*3*2*1} = 252\]

Теперь рассчитаем вероятность:

\[P(X = 5) = 252 * (0.5)^5 * (0.5)^5 = 252 * (0.5)^{10} = 252 * 0.0009765625 = 0.24609375\]

Округлим до трех знаков после запятой: 0.246

Если нужно найти вероятность выпадения 5 орлов подряд, то вероятность будет рассчитываться как:

\[P = (0.5)^5 = 0.03125\]

Эта вероятность значительно меньше, чем вероятность выпадения 5 орлов из 10 подбрасываний в любом порядке.

Задача 2:

Вероятность того, что стрелок попадет в мишень хотя бы один раз из 4 выстрелов, проще всего найти, рассчитав вероятность противоположного события: стрелок ни разу не попадет в мишень.

Вероятность промаха при каждом выстреле составляет:

\[1 - 0.8 = 0.2\]

Вероятность того, что стрелок промахнется все 4 раза, равна:

\[(0.2)^4 = 0.0016\]

Тогда вероятность того, что стрелок попадет хотя бы один раз, будет равна:

\[1 - 0.0016 = 0.9984\]