Решить неравенство $$\frac{2a}{x} - \frac{1}{x-1} > 1$$ при $$a = 0$$

Решение:

Данное неравенство имеет вид:

\(\frac{2a}{x} - \frac{1}{x-1} > 1\)

Подставим $$a=0$$:

\(\frac{0}{x} - \frac{1}{x-1} > 1\)

\(-\frac{1}{x-1} > 1\)

Перенесём 1 в левую часть:

\(-\frac{1}{x-1} - 1 > 0\)

Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{-1 - (x-1)}{x-1} > 0\)

\(\frac{-1 - x + 1}{x-1} > 0\)

\(\frac{-x}{x-1} > 0\)

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

\(\frac{x}{x-1} < 0\)

Решим методом интервалов. Критические точки: $$x=0$$ и $$x=1$$.

Разделим числовую прямую на три интервала:

• $$(-\infty, 0)$$: Возьмём $$x=-1$$. \(\frac{-1}{-1-1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} > 0\). Не подходит.
• $$(0, 1)$$: Возьмём $$x=0.5$$. \(\frac{0.5}{0.5-1} = \frac{0.5}{-0.5} = -1 < 0\). Подходит.
• $$(1, \infty)$$: Возьмём $$x=2$$. \(\frac{2}{2-1} = \frac{2}{1} = 2 > 0\). Не подходит.

Решением неравенства является интервал $$(0, 1)$$.

Ответ: $$0