Решить иррациональные уравнения:

Решение:

а) \( \sqrt{x+1} = \sqrt{2x+6} \)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( x+1 = 2x+6 \).
2. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числовые значения — в другую: \( x - 2x = 6 - 1 \).
3. Упростим: \( -x = 5 \)
4. Найдем \( x \): \( x = -5 \).
5. Проверим условие неотрицательности подкоренных выражений: \( x+1 \ge 0 \) и \( 2x+6 \ge 0 \).
6. Подставим \( x = -5 \): \( -5+1 = -4 \). Так как \( -4 < 0 \), то \( x = -5 \) не является решением.

б) \( \sqrt{3x-2} = \sqrt{2x+1} \)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( 3x-2 = 2x+1 \).
2. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числовые значения — в другую: \( 3x - 2x = 1 + 2 \).
3. Упростим: \( x = 3 \).
4. Проверим условие неотрицательности подкоренных выражений: \( 3x-2 \ge 0 \) и \( 2x+1 \ge 0 \).
5. Подставим \( x = 3 \): \( 3(3)-2 = 9-2 = 7 \ge 0 \) и \( 2(3)+1 = 6+1 = 7 \ge 0 \). Оба условия выполняются.

в) \( \sqrt[3]{x-9} = -3 \)

1. Возведём обе части уравнения в куб: \( x-9 = (-3)^3 \).
2. Вычислим куб: \( x-9 = -27 \).
3. Перенесём числовую константу в правую часть: \( x = -27 + 9 \).
4. Найдём \( x \): \( x = -18 \).

г) \( \sqrt{x^2-x-3} = \sqrt{x} \)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( x^2-x-3 = x \).
2. Перенесём все члены в левую часть: \( x^2 - x - x - 3 = 0 \).
3. Упростим: \( x^2 - 2x - 3 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).
5. Найдем корни: \( x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2+4}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2-4}{2} = -1 \).
6. Проверим условие неотрицательности подкоренных выражений: \( x^2-x-3 \ge 0 \) и \( x \ge 0 \).
7. Для \( x = 3 \): \( 3^2-3-3 = 9-3-3 = 3 \ge 0 \) и \( 3 \ge 0 \). Оба условия выполняются.
8. Для \( x = -1 \): \( x \ge 0 \) не выполняется.

д) \( \sqrt{9-x^2} = \sqrt{x+9} \)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( 9-x^2 = x+9 \).
2. Перенесём все члены в одну сторону: \( -x^2 - x = 0 \).
3. Умножим на -1: \( x^2 + x = 0 \).
4. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x+1) = 0 \).
5. Корни: \( x = 0 \) или \( x = -1 \).
6. Проверим условие неотрицательности подкоренных выражений: \( 9-x^2 \ge 0 \) и \( x+9 \ge 0 \).
7. Для \( x = 0 \): \( 9-0^2 = 9 \ge 0 \) и \( 0+9 = 9 \ge 0 \). Оба условия выполняются.
8. Для \( x = -1 \): \( 9-(-1)^2 = 9-1 = 8 \ge 0 \) и \( -1+9 = 8 \ge 0 \). Оба условия выполняются.

Ответ: а) решений нет; б) \( x=3 \); в) \( x=-18 \); г) \( x=3 \); д) \( x=0, x=-1 \).