Реши задачу. Окружность с радиусом 8, 3 см вписана в прямоугольный треугольник. Найди периметр треугольника, если точка касания Q делит гипотенузу на отрезки, равные 14, 9 и 8 см. Вырази ответ в см. Запиши ответ числом.

Решение:

Пусть данный прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Окружность с радиусом \( r = 8,3 \) см вписана в этот треугольник. Точка касания Q делит гипотенузу AB на отрезки AQ и QB. По условию, \( AQ = 14 \) см, \( QB = 9 \) см, \( 8 \) см. Это условие некорректно, так как гипотенуза делится точкой касания на два отрезка, а не три. Предположим, что указаны длины отрезков, на которые делятся стороны треугольника точками касания вписанной окружности. Пусть точки касания вписанной окружности делят стороны BC, AC и AB на отрезки, равные \( x \), \( y \) и \( z \) соответственно. Тогда стороны треугольника равны \( a = x + y \), \( b = y + z \), \( c = x + z \). Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике связан с отрезками соотношением \( r = √{xy} \) или \( r = \frac{a+b-c}{2} \).

Если предположить, что точка касания Q делит гипотенузу на отрезки \( 14 \) см и \( 9 \) см, тогда длина гипотенузы \( c = 14 + 9 = 23 \) см. И радиус вписанной окружности \( r = 8,3 \) см. Воспользуемся формулой \( r = \frac{a+b-c}{2} \).

\( 8,3 = \frac{a+b-23}{2} \)

\( 16,6 = a+b-23 \)

\( a+b = 16,6 + 23 = 39,6 \) см.

Периметр треугольника \( P = a+b+c = 39,6 + 23 = 62,6 \) см.

Проверим условие \( a^2 + b^2 = c^2 \).

Мы знаем, что \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \).

\( (39,6)^2 = c^2 + 2ab \)

\( 1568,16 = 23^2 + 2ab \)

\( 1568,16 = 529 + 2ab \)

\( 2ab = 1568,16 - 529 = 1039,16 \)

\( ab = 519,58 \) см².

Теперь найдем стороны \( a \) и \( b \) из системы уравнений:

\( a+b = 39,6 \)

\( ab = 519,58 \)

\( t^2 - 39,6t + 519,58 = 0 \)

Дискриминант \( D = (39,6)^2 - 4 \cdot 519,58 = 1568,16 - 2078,32 = -510,16 \).

Так как дискриминант отрицательный, то данное условие некорректно. Скорее всего, 8, 3 см — это одна из сторон, а 14 и 9 см — отрезки, на которые гипотенуза делится точкой касания. В этом случае, если \( r = 8,3 \) см, то \( a+b = 39,6 \) см, \( c = 23 \) см. Периметр \( P = 62,6 \) см.

Однако, если 14, 9 и 8 см — это длины отрезков, на которые точками касания делятся стороны прямоугольного треугольника. Тогда катеты \( a = 14 + 8 = 22 \) см, \( b = 9 + 8 = 17 \) см. Гипотенуза \( c = 14 + 9 = 23 \) см. Радиус вписанной окружности \( r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{22+17-23}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см. Это не соответствует условию \( r = 8,3 \) см.

Вернемся к первому предположению, что \( r = 8,3 \) см, и гипотенуза делится на \( 14 \) см и \( 9 \) см. Тогда \( c = 23 \) см. \( a+b = 39,6 \) см. \( P = 62,6 \) см.

Условие задачи некорректно, так как приведенные числа не образуют прямоугольный треугольник. Если принять, что радиус вписанной окружности равен 8 см, а гипотенуза делится на 14 и 9 см, то периметр будет 62 см.

Предположим, что радиус вписанной окружности r = 8 см, а гипотенуза делится на отрезки 14 см и 9 см.

Гипотенуза \( c = 14 + 9 = 23 \) см.

Пусть катеты равны \( a \) и \( b \). Тогда отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу, равны \( a-r \) и \( b-r \), если точки касания находятся на катетах. В прямоугольном треугольнике, если точками касания вписанной окружности стороны делятся на отрезки \( x, y, z \), где \( x, y \) — отрезки на катетах, а \( z \) — отрезок на гипотенузе, то \( r = x \), \( r = y \) (если угол прямой), катеты \( a = r+x \), \( b = r+y \). Гипотенуза \( c = x+y \).

В нашем случае, если \( r = 8,3 \) см, и гипотенуза делится на \( 14 \) см и \( 9 \) см, то \( c = 14+9 = 23 \) см.

Мы имеем \( a+b = 2r+c = 2 \times 8,3 + 23 = 16,6 + 23 = 39,6 \) см.

Периметр \( P = a+b+c = 39,6 + 23 = 62,6 \) см.

Ответ: 62.6