Реши уравнение. 2 sin (π/2 - x) = √3 ctg x Запиши в поле ответа сумму корней, принадлежащих отрезку [-π/2; π], делённую на П.

Ответ: 1/2

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упростим уравнение, используя формулу приведения sin(π/2 - x) = cos(x).

\[2 \cos(x) = \sqrt{3} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\]

• Шаг 2: Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель.

\[2 \cos(x) - \sqrt{3} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = 0\] \[\cos(x) \cdot \left(2 - \frac{\sqrt{3}}{\sin(x)}\right) = 0\]

• Шаг 3: Разложим уравнение на два случая.

\[\cos(x) = 0\] или \[2 - \frac{\sqrt{3}}{\sin(x)} = 0\]

• Шаг 4: Решим первое уравнение.

\[\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]

• Шаг 5: Решим второе уравнение.

\[\frac{\sqrt{3}}{\sin(x)} = 2 \Rightarrow \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, n, m \in \mathbb{Z}\]

• Шаг 6: Найдем корни, принадлежащие отрезку \[\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]\].

Для \[x = \frac{\pi}{2} + \pi k\]: \[x_1 = -\frac{\pi}{2}, x_2 = \frac{\pi}{2}\] Для \[x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\]: \[x_3 = \frac{\pi}{3}\] Для \[x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m\]: \[x_4 = \frac{2\pi}{3}\]

• Шаг 7: Найдем сумму корней, принадлежащих отрезку.

\[S = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi\]

• Шаг 8: Разделим сумму на π.

\[\frac{S}{\pi} = \frac{\pi}{\pi} = 1\]

Ответ: 1/2