Реши уравнение х + √x = 1.

Решение:

Заметим, что уравнение можно решить, сделав замену переменной. Пусть \( y = \sqrt{x} \). Так как \( \sqrt{x} \) — это арифметический квадратный корень, то \( y \ge 0 \). Тогда \( x = y^2 \).

Подставим \( y \) в исходное уравнение:

\( y^2 + y = 1 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( y^2 + y - 1 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 \)

Найдем корни \( y \):

\( y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \) и \( y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \)

Поскольку мы знаем, что \( y \ge 0 \) (так как \( y = \sqrt{x} \)), то нам подходит только первый корень:

\( y = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \)

Теперь вернёмся к замене \( y = \sqrt{x} \) и найдём \( x \):

\( \sqrt{x} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \)

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы найти \( x \):

\( x = \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 \)

\( x = \frac{(-1)^2 + 2 \cdot (-1) \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{2^2} \)

\( x = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{4} \)

\( x = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} \)

\( x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \)

Проверка:

Подставим найденное значение \( x \) в исходное уравнение:

\( x + \sqrt{x} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \)

Чтобы упростить \( \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \), заметим, что \( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{(\sqrt{5}-1)^2}{4} \). Поэтому \( \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \).

\( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).

Уравнение верно.

Ответ: $$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$$