Реши уравнение: (4^x - 65 * 2^x + 64) * sqrt(x - 1) = 0. (В ответе запиши корни в порядке возрастания.)

Решение:

Уравнение вида \( A \cdot B = 0 \) равносильно совокупности уравнений \( A = 0 \) или \( B = 0 \).

1. Рассмотрим первое уравнение: \( 4^x - 65 \cdot 2^x + 64 = 0 \).
• Сделаем замену переменной: \( y = 2^x \). Тогда \( 4^x = (2^x)^2 = y^2 \).
• Уравнение примет вид: \( y^2 - 65y + 64 = 0 \).
• Найдём дискриминант: \( D = (-65)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 4225 - 256 = 3969 \).
• \( \sqrt{D} = \sqrt{3969} = 63 \).
• Найдём корни \( y \):
• \( y_1 = \frac{65 + 63}{2} = \frac{128}{2} = 64 \)
• \( y_2 = \frac{65 - 63}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
• Вернёмся к замене \( y = 2^x \):
• \( 2^x = 64 \) \( \Rightarrow \) \( 2^x = 2^6 \) \( \Rightarrow \) \( x = 6 \).
• \( 2^x = 1 \) \( \Rightarrow \) \( 2^x = 2^0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 0 \).
2. Рассмотрим второе уравнение: \( \sqrt{x - 1} = 0 \).
• Возведём обе части в квадрат: \( x - 1 = 0 \).
• \( x = 1 \).
3. Проверим найденные корни на наличие ограничений. Корень \( \sqrt{x - 1} \) определён при \( x - 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq 1 \).
• Корень \( x = 6 \) удовлетворяет условию.
• Корень \( x = 0 \) не удовлетворяет условию \( x \geq 1 \).
• Корень \( x = 1 \) удовлетворяет условию.
4. Таким образом, действительными корнями исходного уравнения являются \( x = 6 \) и \( x = 1 \).
5. Запишем корни в порядке возрастания: \( 1, 6 \).

Ответ: 1; 6.