Контрольные задания
Вопрос:

Реши уравнение: \(4^x - 10 \cdot 2^x + 16\) \(\cdot\) \(\sqrt{x - 2}\) = 0. (В ответе запиши корни в порядке возрастания.)

Фото задания: Реши уравнение: \(4^x - 10 \cdot 2^x + 16\) \(\cdot\) \(\sqrt{x - 2}\) = 0. (В ответе запиши корни в порядке возрастания.)Фото задания

Ответ:

Решение:

Уравнение \( (4^x - 10 \cdot 2^x + 16) \cdot \sqrt{x - 2} = 0 \) распадается на два случая:

  1. Случай 1: \( \sqrt{x - 2} = 0 \)

    2. Возведём обе части в квадрат:

    \( x - 2 = 0 \)

    \( x = 2 \)

    Проверим условие подкоренного выражения: \( x - 2 \ge 0 \). При \( x = 2 \) имеем \( 2 - 2 = 0 \), что верно.

  2. Случай 2: \( 4^x - 10 \cdot 2^x + 16 = 0 \)

    3. Заменим \( 4^x \) на \( (2^x)^2 \). Пусть \( y = 2^x \). Тогда уравнение примет вид:

    \( y^2 - 10y + 16 = 0 \)

    Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём дискриминант:

    \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 \]

    Найдем корни для \( y \):

    \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 6}{2} = 8 \]

    \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 6}{2} = 2 \]

    Теперь вернёмся к замене \( y = 2^x \):

    а) \( 2^x = 8 \)

    \( 2^x = 2^3 \)

    \( x = 3 \)

    б) \( 2^x = 2 \)

    \( 2^x = 2^1 \)

    \( x = 1 \)

    Проверка корней:

    При \( x = 2 \): \( (4^2 - 10 \cdot 2^2 + 16) \cdot \sqrt{2 - 2} = (16 - 10 \cdot 4 + 16) \cdot \sqrt{0} = (16 - 40 + 16) \cdot 0 = -8 \cdot 0 = 0 \). Корень \( x=2 \) подходит.

    При \( x = 3 \): \( (4^3 - 10 \cdot 2^3 + 16) \cdot \sqrt{3 - 2} = (64 - 10 \cdot 8 + 16) \cdot \sqrt{1} = (64 - 80 + 16) \cdot 1 = 0 \cdot 1 = 0 \). Корень \( x=3 \) подходит.

    При \( x = 1 \): \( (4^1 - 10 \cdot 2^1 + 16) \cdot \sqrt{1 - 2} = (4 - 20 + 16) \cdot \sqrt{-1} \). Выражение \( \sqrt{-1} \) не определено в действительных числах, поэтому \( x = 1 \) не является корнем.

    Всего корней: \( x = 2 \) и \( x = 3 \).

    Запишем корни в порядке возрастания.

Ответ: 2; 3.