Реши уравнение: \(4^x - 10 \cdot 2^x + 16\) \(\cdot\) \(\sqrt{x - 2}\) = 0.

Решение:

Уравнение состоит из двух множителей, произведение которых равно нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Также необходимо учесть условие существования квадратного корня: \( x - 2 \ge 0 \), то есть \( x \ge 2 \).

1. Первый множитель равен нулю:

\( 4^x - 10 \cdot 2^x + 16 = 0 \)

Заменим \( 2^x \) на \( y \). Тогда \( 4^x = (2^x)^2 = y^2 \). Получим квадратное уравнение относительно \( y \):

\( y^2 - 10y + 16 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 \)

Найдем корни \( y \):

\( y_1 = \frac{10 + \sqrt{36}}{2} = \frac{10 + 6}{2} = 8 \)

\( y_2 = \frac{10 - \sqrt{36}}{2} = \frac{10 - 6}{2} = 2 \)

Теперь вернемся к замене \( y = 2^x \):

• \( 2^x = 8 \) \( \Rightarrow \) \( 2^x = 2^3 \) \( \Rightarrow \) \( x = 3 \)
• \( 2^x = 2 \) \( \Rightarrow \) \( 2^x = 2^1 \) \( \Rightarrow \) \( x = 1 \)

Учитываем условие \( x \ge 2 \). Корень \( x = 1 \) не подходит. Корень \( x = 3 \) подходит.

1. Второй множитель равен нулю:

\( \sqrt{x - 2} = 0 \)

Возведем обе части в квадрат:

\( x - 2 = 0 \)

\( x = 2 \)

Проверим условие \( x \ge 2 \). Корень \( x = 2 \) подходит.

Корни уравнения: \( x = 3 \) и \( x = 2 \). В ответе запишем корни в порядке возрастания.

Ответ: 2; 3.