Реши систему уравнений методом подстановки: \( \frac{x - 4y}{3} + \frac{3x + 2y}{2} = 9 \) \( -3x + 4y = -32 \)

Решение:

Данная система уравнений:

\( \begin{cases} \frac{x - 4y}{3} + \frac{3x + 2y}{2} = 9 \\ -3x + 4y = -32 \end{cases} \)

Шаг 1: Упростим первое уравнение.

Приведём к общему знаменателю 6:

\[ \frac{2(x - 4y) + 3(3x + 2y)}{6} = 9 \]

\[ 2x - 8y + 9x + 6y = 54 \]

\[ 11x - 2y = 54 \]

Теперь система выглядит так:

\[ \begin{cases} 11x - 2y = 54 \\ -3x + 4y = -32 \end{cases} \]

Шаг 2: Выразим одну переменную через другую из второго уравнения.

Из уравнения \( -3x + 4y = -32 \) выразим \( 4y \):

\[ 4y = 3x - 32 \]

Теперь выразим \( y \) (для удобства подстановки в первое уравнение):

\[ y = \frac{3x - 32}{4} \]

Шаг 3: Подставим выражение для \( y \) в первое упрощённое уравнение.

\[ 11x - 2 \left( \frac{3x - 32}{4} \right) = 54 \]

Сократим 2 и 4:

\[ 11x - \frac{3x - 32}{2} = 54 \]

Умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 22x - (3x - 32) = 108 \]

\[ 22x - 3x + 32 = 108 \]

\[ 19x = 108 - 32 \]

\[ 19x = 76 \]

\[ x = \frac{76}{19} \]

\[ x = 4 \]

Шаг 4: Подставим найденное значение \( x \) во выражение для \( y \).

\[ y = \frac{3(4) - 32}{4} \]

\[ y = \frac{12 - 32}{4} \]

\[ y = \frac{-20}{4} \]

\[ y = -5 \]

Шаг 5: Проверим решение, подставив значения \( x \) и \( y \) в исходные уравнения.

Первое уравнение:

\[ \frac{4 - 4(-5)}{3} + \frac{3(4) + 2(-5)}{2} = \frac{4 + 20}{3} + \frac{12 - 10}{2} = \frac{24}{3} + \frac{2}{2} = 8 + 1 = 9 \]

Второе уравнение:

\[ -3(4) + 4(-5) = -12 - 20 = -32 \]

Решение верно.

Ответ: (4; -5).