Реши данное неравенство, используя метод интервалов: \(\frac{2x - 1}{x + 5} - 1 \le \frac{9}{2(x + 5)}\) Выбери правильный вариант:

Решение:

1. Перенесём все члены неравенства в одну сторону: \[ \frac{2x - 1}{x + 5} - 1 - \frac{9}{2(x + 5)} \le 0 \]
2. Приведём к общему знаменателю \( 2(x + 5) \): \[ \frac{2(2x - 1)}{2(x + 5)} - \frac{2(x + 5)}{2(x + 5)} - \frac{9}{2(x + 5)} \le 0 \]
3. Объединим числители: \[ \frac{4x - 2 - (2x + 10) - 9}{2(x + 5)} \le 0 \] \[ \frac{4x - 2 - 2x - 10 - 9}{2(x + 5)} \le 0 \] \[ \frac{2x - 21}{2(x + 5)} \le 0 \]
4. Найдём корни числителя и знаменателя:
• Числитель: \( 2x - 21 = 0 \Rightarrow x = \frac{21}{2} = 10.5 \)
• Знаменатель: \( 2(x + 5) = 0 \Rightarrow x = -5 \)
5. Отметим найденные точки на числовой оси и определим знаки интервалов. Точка \( x = -5 \) — особая (знаменатель равен нулю), \( x = 10.5 \) — входит в решение (числитель равен нулю и знак \( \le \)).
6. Интервалы: \( (-\infty; -5) \), \( (-5; 10.5] \), \( (10.5; +\infty) \).
7. Проверим знаки:
• При \( x < -5 \) (например, \( x = -6 \)): \( \frac{2(-6) - 21}{2(-6 + 5)} = \frac{-12 - 21}{2(-1)} = \frac{-33}{-2} = 16.5 > 0 \)
• При \( -5 < x \le 10.5 \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{2(0) - 21}{2(0 + 5)} = \frac{-21}{10} = -2.1 \le 0 \)
• При \( x > 10.5 \) (например, \( x = 11 \)): \( \frac{2(11) - 21}{2(11 + 5)} = \frac{22 - 21}{2(16)} = \frac{1}{32} > 0 \)
8. Решение неравенства: \( -5 < x \le 10.5 \)

Ответ: x ∈ (-5; 10,5].