12)

Решение:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Угол \( ∠ ADC \) и угол \( ∠ ABC \) опираются на дугу \( ¯{ABC} \).

Угол \( ∠ DAB \) и угол \( ∠ DCB \) опираются на дугу \( ¯{DCB} \).

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90 градусам.

Так как \( ∠ ADC = 35^\circ \), то величина дуги \( ¯{ABC} \) равна \( 2 · 35^\circ = 70^\circ \).

Величина дуги \( ¯{ADC} \) равна \( 360^\circ - 70^\circ = 290^\circ \).

Угол \( ∠ ABC \) равен половине величины дуги \( ¯{ADC} \), то есть \( ∠ ABC = \frac{290^\circ}{2} = 145^\circ \).

Угол \( ∠ BCD \) равен половине величины дуги \( ¯{BAD} \).

Угол \( ∠ BAD = 105^\circ \).

Величина дуги \( ¯{BCD} \) равна \( 2 · 105^\circ = 210^\circ \).

Угол \( ∠ BCD \) равен половине величины дуги \( ¯{BAD} \), то есть \( ∠ BCD = \frac{2 · 35^\circ}{2} = 35^\circ \).

В четырехугольнике ABCD:

\( ∠ DAB = 105^\circ \)

\( ∠ ABC = x \)

\( ∠ BCD = ? \)

\( ∠ CDA = 35^\circ \)

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.

\( ∠ DAB + ∠ BCD = 180^\circ \)

\( 105^\circ + ∠ BCD = 180^\circ \)

\( ∠ BCD = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \)

\( ∠ ABC + ∠ CDA = 180^\circ \)

\( x + 35^\circ = 180^\circ \)

\( x = 180^\circ - 35^\circ \)

\( x = 145^\circ \)

Ответ: 145.