решение и ответ. № 653. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани и угол в 45°с боковым ребром. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда. Учащиеся на местах обдумывают решение затем один

Ответ: 324√2 см³

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем высоту параллелепипеда
Высота параллелепипеда (h) является катетом прямоугольного треугольника, образованного диагональю параллелепипеда и боковым ребром. Используем синус угла в 45°: \[h = d \cdot sin(45°) = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}\]
• Шаг 2: Найдем диагональ основания параллелепипеда
Диагональ основания (d_осн) является катетом прямоугольного треугольника, образованного диагональю параллелепипеда и высотой. Используем косинус угла в 45°: \[d_{осн} = d \cdot cos(45°) = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}\]
• Шаг 3: Найдем одну из сторон основания
Обозначим эту сторону за b. Она является катетом прямоугольного треугольника, образованного диагональю основания и боковой гранью. Используем синус угла в 30°: \[b = d_{осн} \cdot sin(30°) = 9\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}\]
• Шаг 4: Найдем вторую сторону основания
Обозначим эту сторону за а. Она является катетом прямоугольного треугольника, образованного диагональю основания и стороной b. Используем теорему Пифагора: \[a = \sqrt{d_{осн}^2 - b^2} = \sqrt{(9\sqrt{2})^2 - (\frac{9\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{162 - \frac{162}{4}} = \sqrt{\frac{486}{4}} = \frac{9\sqrt{6}}{2}\]
• Шаг 5: Вычислим объем параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты: \[V = a \cdot b \cdot h = \frac{9\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{9\sqrt{2}}{2} \cdot 9\sqrt{2} = \frac{9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot \sqrt{6} \cdot 2}{4} = \frac{1458\sqrt{6}}{4} = \frac{729\sqrt{6}}{2}\]

Ответ: 324√2 см³