Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРазвертка боковой поверхности конуса — сектор с радиусом 4 м и дугой в 90°. Найдите радиус основания и высоту конуса.
Ответ:
Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе. Нам нужно найти радиус основания и высоту конуса, зная, что его боковая поверхность — это сектор круга с радиусом 4 м и центральным углом 90°.
Дано:
- Радиус сектора (образующая конуса), l = 4 м
- Центральный угол сектора, α = 90°
Найти:
- Радиус основания конуса, r
- Высоту конуса, h
Решение:
1.Найдем радиус основания конуса (r).
Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. Формула длины дуги сектора:
\[ L = \frac{\alpha}{360°} \times 2 \pi R \]
где R — радиус сектора (образующая конуса), а α — центральный угол сектора.
В нашем случае R = l = 4 м, а α = 90°.
\[ L = \frac{90°}{360°} \times 2 \pi (4) \]
\[ L = \frac{1}{4} \times 8 \pi \]
\[ L = 2 \pi \text{ м} \]
Длина окружности основания конуса равна C = 2πr. Так как длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то:
\[ 2 \pi r = 2 \pi \]
Разделим обе части на 2π:
\[ r = 1 \text{ м} \]
Итак, радиус основания конуса равен 1 м.
2.Найдем высоту конуса (h).
Образующая конуса (l), радиус основания (r) и высота конуса (h) связаны теоремой Пифагора:
\[ l^2 = r^2 + h^2 \]
Мы знаем l = 4 м и r = 1 м. Подставим эти значения:
\[ 4^2 = 1^2 + h^2 \]
\[ 16 = 1 + h^2 \]
Выразим h²:
\[ h^2 = 16 - 1 \]
\[ h^2 = 15 \]
Найдем h, взяв квадратный корень:
\[ h = \sqrt{15} \text{ м} \]
Высота конуса равна √15 м.
Ответ:
Радиус основания конуса: 1 м.
Высота конуса: $$\sqrt{15}$$ м.
