Разность двух углов равнобедренного треугольника равна 80°. Найдите углы при основании.

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим углы при основании через \( \alpha \), а угол при вершине — через \( \beta \).

По условию, разность двух углов равна 80°. Возможны два случая:

1. Случай 1: Разность угла при основании и угла при вершине.
   \( \alpha - \beta = 80° \)
   Также известно, что сумма углов треугольника равна 180°: \( 2\alpha + \beta = 180° \).
   Из первого уравнения выразим \( \beta = \alpha - 80° \).
   Подставим во второе уравнение:
   \[ 2\alpha + (\alpha - 80°) = 180° \]
   \[ 3\alpha = 180° + 80° \]
   \[ 3\alpha = 260° \]
   \[ \alpha = \frac{260°}{3} \approx 86.67° \]
   \[ \beta = \alpha - 80° = \frac{260°}{3} - 80° = \frac{260° - 240°}{3} = \frac{20°}{3} \approx 6.67° \]
   Сумма углов: \( 2 \cdot \frac{260°}{3} + \frac{20°}{3} = \frac{520° + 20°}{3} = \frac{540°}{3} = 180° \). Этот случай возможен.
2. Случай 2: Разность угла при вершине и угла при основании.
   \( \beta - \alpha = 80° \)
   Сумма углов: \( 2\alpha + \beta = 180° \).
   Из первого уравнения выразим \( \beta = \alpha + 80° \).
   Подставим во второе уравнение:
   \[ 2\alpha + (\alpha + 80°) = 180° \]
   \[ 3\alpha = 180° - 80° \]
   \[ 3\alpha = 100° \]
   \[ \alpha = \frac{100°}{3} \approx 33.33° \]
   \[ \beta = \alpha + 80° = \frac{100°}{3} + 80° = \frac{100° + 240°}{3} = \frac{340°}{3} \approx 113.33° \]
   Сумма углов: \( 2 \cdot \frac{100°}{3} + \frac{340°}{3} = \frac{200° + 340°}{3} = \frac{540°}{3} = 180° \). Этот случай также возможен.

Ответ: Углы при основании могут быть \( \frac{100°}{3} \approx 33.33° \) (если угол при вершине больше угла при основании) или \( \frac{260°}{3} \approx 86.67° \) (если угол при основании больше угла при вершине).