Разность арифметической прогрессии равна 6, сумма первых ее семи членов равна 161. Найдите произведение первого и седьмого членов этой прогрессии.

Пошаговое решение:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n \), где \( a_1 \) - первый член, d - разность, n - количество членов.

1. Подставим известные значения: \( 161 = \frac{2a_1 + (7 - 1)6}{2} \cdot 7 \)
2. Упростим уравнение: \( 161 = \frac{2a_1 + 36}{2} \cdot 7 \)
3. Разделим обе части на 7: \( 23 = \frac{2a_1 + 36}{2} \)
4. Умножим обе части на 2: \( 46 = 2a_1 + 36 \)
5. Выразим \( a_1 \): \( 2a_1 = 46 - 36 \)
6. \( 2a_1 = 10 \)
7. \( a_1 = 5 \)

Седьмой член арифметической прогрессии: \( a_7 = a_1 + (7 - 1)d \)

1. Подставим известные значения: \( a_7 = 5 + 6 \cdot 6 \)
2. \( a_7 = 5 + 36 \)
3. \( a_7 = 41 \)

Произведение первого и седьмого членов: \( a_1 \cdot a_7 = 5 \cdot 41 = 205 \)

Ответ: 205