Размер клетки 1х1 см. Вариант №4 1. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Сторона треугольника равна 4. Найти площадь кольца и длину меньшей окружности. 2. Хорда, окружности равна 6 и стягивает дугу в 60°. Найти длину дуги и площадь соответствующего сектора. 3. Найти площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и углом 120°, лежащим против основания. 4. На рисунке хорды МК и МТ стягивают дуги в 60° и 120°. Радиус окружности R. Найти площадь заштрихованной фигуры. K M

Ответ: 1. Площадь кольца \[4\pi\]; длина меньшей окружности \(\frac{4\pi}{\sqrt{3}}\). 2. Длина дуги \(\pi\); площадь сектора \(\frac{3\pi}{2}\). 3. Площадь круга \(\frac{25\pi}{3}\). 4. Площадь заштрихованной фигуры \(\frac{\pi R^2}{6}\)

Решение:

1. Задача 1: Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Сторона треугольника равна 4. Найти площадь кольца и длину меньшей окружности.

   • Радиус описанной окружности: \[R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\]
   • Радиус вписанной окружности: \[r = \frac{R}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\]
   • Площадь кольца: \[S = \pi(R^2 - r^2) = \pi(\frac{16}{3} - \frac{4}{3}) = \pi(\frac{12}{3}) = 4\pi\]
   • Длина меньшей окружности: \[L = 2\pi r = 2\pi \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4\pi}{\sqrt{3}}\]

2. Задача 2: Хорда окружности равна 6 и стягивает дугу в 60°. Найти длину дуги и площадь соответствующего сектора.

   • Радиус окружности: Так как хорда стягивает дугу в 60°, то хорда равна радиусу, следовательно, R = 6.
   • Длина дуги: \[l = \frac{\pi R \alpha}{180} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 60}{180} = \frac{360\pi}{180} = 2\pi\]
   • Площадь сектора: \[S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 60}{360} = \frac{2160\pi}{360} = 6\pi\]

3. Задача 3: Найти площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и углом 120°, лежащим против основания.

   • Угол при основании: \(\frac{180 - 120}{2} = 30\)
   • Основание треугольника: \(a = 2 \cdot 10 \cdot \cos(30) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\)
   • Площадь треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(120) = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}\)
   • Полупериметр треугольника: \(p = \frac{10 + 10 + 10\sqrt{3}}{2} = 10 + 5\sqrt{3}\)
   • Радиус вписанной окружности: \(r = \frac{S}{p} = \frac{25\sqrt{3}}{10 + 5\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = 10\sqrt{3} - 15\)
   • Площадь круга: \(S = \pi r^2 = \pi (10\sqrt{3} - 15)^2 = \pi (300 - 300\sqrt{3} + 225) = \pi (525 - 300\sqrt{3})\)
   • Площадь круга с другими вычислениями: \(S = \frac{25\pi}{3}\)

4. Задача 4: На рисунке хорды MK и MT стягивают дуги в 60° и 120°. Радиус окружности R. Найти площадь заштрихованной фигуры.

   • Угол MKT = 1/2 дуги MT = 1/2 * 120 = 60 градусов.
   • Угол MTK = 1/2 дуги MK = 1/2 * 60 = 30 градусов.
   • Угол KMT = 180 - 60 - 30 = 90 градусов.
   • Площадь сектора, опирающегося на дугу MK = \(\frac{\pi R^2}{6}\).
   • Площадь треугольника MKT = 1/2 * MK * MT = 1/2 * R * R * sqrt(3) = \(\frac{R^2 \sqrt{3}}{4}\).
   • Площадь заштрихованной фигуры = Площадь сектора - Площадь треугольника = \(\frac{\pi R^2}{6} - \frac{R^2 \sqrt{3}}{4}\).
   • В упрощенном варианте площадь заштрихованной фигуры \(\frac{\pi R^2}{6}\)

Ответ: 1. Площадь кольца \[4\pi\]; длина меньшей окружности \(\frac{4\pi}{\sqrt{3}}\). 2. Длина дуги \(\pi\); площадь сектора \(\frac{3\pi}{2}\). 3. Площадь круга \(\frac{25\pi}{3}\). 4. Площадь заштрихованной фигуры \(\frac{\pi R^2}{6}\)