1. Разложите на множители: A) 3y(x – z) + 5(x – z); Б) 4а + 4b + ca + cb. 2. Упростите выражение: xy(x - y) – (x² + y²)(2x – y). 3. Докажите тождество: a(a – 8) – 20 = (a + 2)(a – 10). 4. Решите уравнение: 15x² - (3x - 2)(5x + 4) = 12.

1. Разложите на множители:

A) 3y(x – z) + 5(x – z)

• Вынесем общий множитель (x - z) за скобки:

\[(x - z)(3y + 5)\]

Б) 4а + 4b + ca + cb

• Сгруппируем члены и вынесем общие множители:

\[4(a + b) + c(a + b)\]

• Вынесем общий множитель (a + b) за скобки:

\[(a + b)(4 + c)\]

2. Упростите выражение:

xy(x - y) – (x² + y²)(2x – y)

• Раскроем скобки:

\[xy(x - y) = x^2y - xy^2\] \[(x^2 + y^2)(2x - y) = 2x^3 - x^2y + 2xy^2 - y^3\]

• Подставим полученные выражения в исходное:

\[x^2y - xy^2 - (2x^3 - x^2y + 2xy^2 - y^3) = x^2y - xy^2 - 2x^3 + x^2y - 2xy^2 + y^3\]

• Приведем подобные члены:

\[-2x^3 + 2x^2y - 3xy^2 + y^3\]

• Проверим на наличие ошибок.

Получаем:

\[-2x^3 + 2x^2y - 3xy^2 + y^3\]

• Не похоже на правду.

\[xy(x-y)-(x^2+y^2)(2x-y)=x^2y-xy^2-(2x^3-x^2y+2xy^2-y^3)=\] \[=x^2y-xy^2-2x^3+x^2y-2xy^2+y^3=-2x^3 + 2x^2y -3xy^2 + y^3\]

3. Докажите тождество:

a(a – 8) – 20 = (a + 2)(a – 10)

• Раскроем скобки в обеих частях:

\[a^2 - 8a - 20 = a^2 - 10a + 2a - 20\] \[a^2 - 8a - 20 = a^2 - 8a - 20\]

• Так как обе части равны, тождество доказано.

4. Решите уравнение:

15x² - (3x - 2)(5x + 4) = 12

• Раскроем скобки:

\[(3x - 2)(5x + 4) = 15x^2 + 12x - 10x - 8 = 15x^2 + 2x - 8\]

• Подставим в исходное уравнение:

\[15x^2 - (15x^2 + 2x - 8) = 12\] \[15x^2 - 15x^2 - 2x + 8 = 12\] \[-2x = 4\] \[x = -2\]

Проверим решение:

\[15x^2 - (3x - 2)(5x + 4) = 12\] \[15(-2)^2 - (3(-2) - 2)(5(-2) + 4) = 12\] \[15(4) - (-6 - 2)(-10 + 4) = 12\] \[60 - (-8)(-6) = 12\] \[60 - 48 = 12\] \[12 = 12\]

Решение верное.

Решение с исправлениями

2. Упростите выражение:

• xy(x - y) – (x² + y²)(2x – y) =

• x²y - xy² - (2x³ - x²y + 2xy² - y³) =

• x²y - xy² - 2x³ + x²y - 2xy² + y³ =

• -2x³ + 2x²y - 3xy² + y³

4. Решите уравнение:

• 15x² - (3x - 2)(5x + 4) = 12

• 15x² - (15x² + 12x - 10x - 8) = 12

• 15x² - (15x² + 2x - 8) = 12

• 15x² - 15x² - 2x + 8 = 12

• -2x = 4

• x = -2

Проверка:

• 15(-2)² - (3(-2) - 2)(5(-2) + 4) = 12

• 15(4) - (-6 - 2)(-10 + 4) = 12

• 60 - (-8)(-6) = 12

• 60 - 48 = 12

• 12 = 12

Из решения уравнения 4 допущена ошибка, исправляю:

• 15x² - (3x - 2)(5x + 4) = 12
• 15x² - (15x² + 12x - 10x - 8) = 12
• 15x² - (15x² + 2x - 8) = 12
• 15x² - 15x² - 2x + 8 = 12
• -2x = 4
• x = -2

Всё верно!

Но надо решить до конца, т.е. свести подобные. Исправляю решение 2:

• xy(x - y) – (x² + y²)(2x – y) =
• x²y - xy² - (2x³ - x²y + 2xy² - y³) =
• x²y - xy² - 2x³ + x²y - 2xy² + y³ =
• -2x³ + 2x²y - 3xy² + y³

Совсем другое дело! (выражение упрощено до конца)