145. Разложите на множители: 1) x² + 2xy + y² - 49; 2) a² 9h² + 6bc- c²; 3) x³y²xy x³ + x; 4) a³+8a²-2a; 5) 66-464 + 1262 - 9; 6) m³ + 27n³ + m² + 6mn + 9n²; 7) a² + 2ab + b²- c² + 4cd-4d2; 8) a²-b² + 4a + 4.

145. Разложите на множители:

1) x² + 2xy + y² - 49

• Заметим, что первые три члена образуют полный квадрат:
• \(x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2\)
• Тогда выражение можно переписать как:
• \((x+y)^2 - 49\)
• Представим 49 как \(7^2\), получим разность квадратов:
• \((x+y)^2 - 7^2\)
• Разложим разность квадратов по формуле \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):
• \((x+y-7)(x+y+7)\)

Ответ: \((x+y-7)(x+y+7)\)

2) a² - 9b² + 6bc - c²

• Перегруппируем члены:
• \(a^2 - (9b^2 - 6bc + c^2)\)
• Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом:
• \(9b^2 - 6bc + c^2 = (3b-c)^2\)
• Тогда выражение можно переписать как:
• \(a^2 - (3b-c)^2\)
• Разложим разность квадратов по формуле \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):
• \((a - (3b-c))(a + (3b-c))\)
• Упростим:
• \((a - 3b + c)(a + 3b - c)\)

Ответ: \((a - 3b + c)(a + 3b - c)\)

3) x³y² - xy - x³ + x

• Сгруппируем члены:
• \((x^3y^2 - xy) - (x^3 - x)\)
• Вынесем общий множитель из каждой группы:
• \(xy(x^2y - 1) - x(x^2 - 1)\)
• Вынесем x за скобки:
• \(x(y(x^2y - 1) - (x^2 - 1))\)
• Разложим \(x^2-1\) как разность квадратов:
• \(x(yx^2y - y - x^2 + 1)\)

Ответ: \(x(yx^2y - y - x^2 + 1)\)

4) a³ + 8 - a² - 2a

• Сгруппируем члены:
• \((a^3 + 8) - (a^2 + 2a)\)
• Представим 8 как \(2^3\), получим сумму кубов:
• \((a^3 + 2^3) - (a^2 + 2a)\)
• Разложим сумму кубов по формуле \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\):
• \((a+2)(a^2 - 2a + 4) - (a^2 + 2a)\)
• Вынесем общий множитель a за скобки во второй группе:
• \((a+2)(a^2 - 2a + 4) - a(a + 2)\)
• Вынесем общий множитель (a+2) за скобки:
• \((a+2)(a^2 - 2a + 4 - a)\)
• Упростим:
• \((a+2)(a^2 - 3a + 4)\)

Ответ: \((a+2)(a^2 - 3a + 4)\)

5) b⁶ - 4b⁴ + 12b² - 9

• Заметим, что это выражение можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно \(b^2\)
• Пусть \(x = b^2\), тогда выражение можно переписать как:
• \(x^3 - 4x^2 + 12x - 9\)
• Ищем корни данного многочлена. Подбором находим, что x = 1 является корнем, то есть, \(b^2 = 1\), тогда:
• \(b⁶ - 4b⁴ + 12b² - 9 = (b^2-1)(b^4 - 3b^2 + 9)\)
• Далее разложим \((b^4 - 3b^2 + 9)\) на множители (выделением полного квадрата):
• \((b^4 - 3b^2 + 9) = b^4 + 6b^2 + 9 - 9b^2= (b^2+3)^2 - (3b)^2=\) \((b^2+3-3b)(b^2+3+3b)\)
• В итоге получаем:
• \((b^2-1)(b^2-3b+3)(b^2+3b+3)\)

Ответ: \((b-1)(b+1)(b^2-3b+3)(b^2+3b+3)\)

6) m³ + 27n³ + m² + 6mn + 9n²

• Представим \(27n^3\) как \((3n)^3\), получим сумму кубов:
• \(m^3 + (3n)^3 + m^2 + 6mn + 9n^2\)
• Разложим сумму кубов по формуле \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\):
• \((m+3n)(m^2 - 3mn + 9n^2) + m^2 + 6mn + 9n^2\)
• Соберем в одну скобку выражение:
• \((m+3n)(m^2 - 3mn + 9n^2 + m^2 + 6mn + 9n^2)\)

Ответ: \((m+3n)(m^2 - 3mn + 9n^2 + m^2 + 6mn + 9n^2)\)

7) a² + 2ab + b² - c² + 4cd - 4d²

• Заметим, что первые три члена образуют полный квадрат:
• \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)
• Также последние три члена можно представить как:
• \(- (c^2 - 4cd + 4d^2) = - (c-2d)^2\)
• Тогда выражение можно переписать как:
• \((a+b)^2 - (c-2d)^2\)
• Разложим разность квадратов по формуле \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):
• \(((a+b) - (c-2d))((a+b) + (c-2d))\)
• Упростим:
• \((a+b-c+2d)(a+b+c-2d)\)

Ответ: \((a+b-c+2d)(a+b+c-2d)\)

8) a² - b² + 4a + 4

• Сгруппируем члены:
• \((a^2 + 4a + 4) - b^2\)
• Заметим, что первые три члена образуют полный квадрат:
• \(a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2\)
• Тогда выражение можно переписать как:
• \((a+2)^2 - b^2\)
• Разложим разность квадратов по формуле \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):
• \(((a+2) - b)((a+2) + b)\)
• Упростим:
• \((a+2-b)(a+2+b)\)

Ответ: \((a+2-b)(a+2+b)\)