Разложите на множители выражение (п – натуральное число): 1) aⁿ⁺¹ + aⁿ + a + 1; 2) bⁿ⁺² - b - 1 + bⁿ⁺¹; 3) 3yⁿ⁺³ - 3y² - 5 + 5y + 1.

Решение:

Разложим каждое выражение на множители.

1. \( a^{n+1} + a^n + a + 1 \)

Сгруппируем члены:

\( (a^{n+1} + a^n) + (a + 1) \)

Вынесем общий множитель из первой группы:

\( a^n(a + 1) + 1(a + 1) \)

Вынесем общий множитель \( (a + 1) \):

\( (a + 1)(a^n + 1) \)

2. \( b^{n+2} - b - 1 + b^{n+1} \)

Перегруппируем члены:

\( (b^{n+2} + b^{n+1}) - (b + 1) \)

Вынесем общий множитель \( b^{n+1} \) из первой группы:

\( b^{n+1}(b + 1) - 1(b + 1) \)

Вынесем общий множитель \( (b + 1) \):

\( (b + 1)(b^{n+1} - 1) \)

3. \( 3y^{n+3} - 3y^2 - 5 + 5y + 1 \)

Сначала упростим последнее слагаемое: \( -5 + 1 = -4 \).

Выражение станет:

\( 3y^{n+3} - 3y^2 + 5y - 4 \)

Это выражение не раскладывается на простые множители с целыми коэффициентами, так как нет очевидных общих множителей или групп, которые можно было бы сгруппировать и вынести общий множитель. Возможно, в условии была опечатка.

Ответ:

1) \( (a + 1)(a^n + 1) \)

2) \( (b + 1)(b^{n+1} - 1) \)

3) Выражение \( 3y^{n+3} - 3y^2 + 5y - 4 \) не раскладывается на простые множители с целыми коэффициентами.