Разложите на множители: 1) м³² + 27m²; 2) x³-64xy² 3) -3a²+18a-27; 4) 2ab + 106-2a-10; 5) a⁴-16. Упростите выражение (2а- 1)(4а² + 2a + 1) и найдите его значение при а = -1/2 Разложите на множители: 1)x²-y²+x-y; 2) 4x² - 4xy + y² - 9 3) ac⁴-c⁴-ac²+c²; 4) 4-m³ + 2mn-n². Решите уравнение: 1) 6x³-24x = 0; 2) 25x³ - 10x² + x = 0; 3) x³-4x²-9x + 36 = 0. Докажите, что значение выражения 2¹² + 5³ делится нацело на 21. Известно, что a + b = 5, ab = -2. Найдите значение выражения (а - 6².

1. Разложите на множители:

1) \( m^3 + 27n^3 \)

Это сумма кубов, раскладывается по формуле \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \). В данном случае, \( a = m \) и \( b = 3n \).

\( m^3 + 27n^3 = (m + 3n)(m^2 - 3mn + 9n^2) \)

2) \( x^3 - 64xy^2 \)

Вынесем общий множитель \( x \):

\( x(x^2 - 64y^2) \)

Теперь разложим скобку как разность квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), где \( a = x \) и \( b = 8y \).

\( x(x - 8y)(x + 8y) \)

3) \( -3a^2 + 18a - 27 \)

Вынесем \( -3 \) за скобки:

\( -3(a^2 - 6a + 9) \)

В скобках полный квадрат: \( (a - 3)^2 \), поэтому:

\( -3(a - 3)^2 \)

4) \( 2ab + 10b - 2a - 10 \)

Сгруппируем и вынесем общие множители:

\( 2b(a + 5) - 2(a + 5) \)

Вынесем \( (a + 5) \):

\( (a + 5)(2b - 2) = 2(a + 5)(b - 1) \)

5) \( a^4 - 16 \)

Разность квадратов: \( (a^2 - 4)(a^2 + 4) \)

Снова разность квадратов: \( (a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) \)

2. Упростите выражение \( (2a - 1)(4a^2 + 2a + 1) \) и найдите его значение при \( a = -\frac{1}{2} \).

Это формула разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \). В данном случае, \( (2a - 1)((2a)^2 + 2a + 1) = (2a)^3 - 1^3 \).

\( (2a)^3 - 1 = 8a^3 - 1 \)

Подставим \( a = -\frac{1}{2} \):

\( 8(-\frac{1}{2})^3 - 1 = 8(-\frac{1}{8}) - 1 = -1 - 1 = -2 \)

3. Разложите на множители:

1) \( x^2 - y^2 + x - y \)

Разность квадратов: \( (x - y)(x + y) + (x - y) \)

Вынесем \( (x - y) \):

\( (x - y)(x + y + 1) \)

2) \( 4x^2 - 4xy + y^2 - 9 \)

Выделим полный квадрат: \( (2x - y)^2 - 9 \)

Разность квадратов: \( ((2x - y) - 3)((2x - y) + 3) = (2x - y - 3)(2x - y + 3) \)

3) \( ac^4 - c^4 - ac^2 + c^2 \)

Сгруппируем и вынесем общие множители:

\( c^4(a - 1) - c^2(a - 1) \)

Вынесем \( (a - 1) \):

\( (a - 1)(c^4 - c^2) = (a - 1)c^2(c^2 - 1) = (a - 1)c^2(c - 1)(c + 1) \)

4) \( 4 - m^3 + 2mn - n^2 \)

Сгруппируем:

\( 4 - (m^2 - 2mn + n^2) = 4 - (m - n)^2 \)

Разность квадратов: \( (2 - (m - n))(2 + (m - n)) = (2 - m + n)(2 + m - n) \)

4. Решите уравнение:

1) \( 6x^3 - 24x = 0 \)

Вынесем \( 6x \):

\( 6x(x^2 - 4) = 0 \)

Разность квадратов: \( 6x(x - 2)(x + 2) = 0 \)

Корни: \( x = 0, x = 2, x = -2 \)

2) \( 25x^3 - 10x^2 + x = 0 \)

Вынесем \( x \):

\( x(25x^2 - 10x + 1) = 0 \)

В скобках полный квадрат: \( (5x - 1)^2 \), поэтому:

\( x(5x - 1)^2 = 0 \)

Корни: \( x = 0, x = \frac{1}{5} \)

3) \( x^3 - 4x^2 - 9x + 36 = 0 \)

Сгруппируем:

\( x^2(x - 4) - 9(x - 4) = 0 \)

Вынесем \( (x - 4) \):

\( (x - 4)(x^2 - 9) = 0 \)

Разность квадратов: \( (x - 4)(x - 3)(x + 3) = 0 \)

Корни: \( x = 4, x = 3, x = -3 \)

5. Докажите, что значение выражения \( 2^{12} + 5^3 \) делится нацело на 21.

Вычислим выражение: \( 2^{12} + 5^3 = 4096 + 125 = 4221 \)

Проверим, делится ли 4221 на 21: \( 4221 \div 21 = 201 \)

Так как 4221 делится на 21 без остатка, утверждение доказано.

6. Известно, что \( a + b = 5, ab = -2 \). Найдите значение выражения \( (a - b)^2 \).

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Выразим \( a^2 + b^2 \) через \( (a + b)^2 \):

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), значит, \( a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab \)

Тогда:

\( (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab \)

Подставим значения \( a + b = 5 \) и \( ab = -2 \):

\( (a - b)^2 = 5^2 - 4(-2) = 25 + 8 = 33 \)