Разложи по векторам \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) векторы \(\vec{DE}\) и \(\vec{EF}\).

Решение:

Дано кубическое тело с вершинами, обозначенными латинскими буквами. Векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) соответствуют рёбрам куба, исходящим из общей вершины. Предположим, что \(\vec{a} = \vec{AD}\), \(\vec{b} = \vec{DC}\) и \(\vec{c} = \vec{DD_1}\). Из рисунка видно, что \(\vec{AB}\) является диагональю грани куба, а \(\vec{DA} = -\vec{a}\), \(\vec{CD} = -\vec{b}\), \(\vec{D_1D} = -\vec{c}\).

Точка \(E\) делит ребро \(AB\) так, что \(AE:EB = 4:1\). Это означает, что \(\vec{AE} = \frac{4}{5}\vec{AB}\) и \(\vec{EB} = \frac{1}{5}\vec{AB}\).

Точка \(F\) делит ребро \(CC_1\) так, что \(CF:FC_1 = 1:3\). Это означает, что \(\vec{CF} = \frac{1}{4}\vec{CC_1}\) и \(\vec{FC_1} = \frac{3}{4}\vec{CC_1}\).

Определим векторы \(\vec{DE}\) и \(\vec{EF}\) через \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\).

1. Вектор \(\vec{DE}\):
   \(\vec{DE} = \vec{DA} + \vec{AE}\).
   Найдём \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DB}\). Нам нужно выразить \(\vec{DB}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
   По условию, \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) — некомпланарные векторы, исходящие из общей вершины. Из рисунка следует, что \(\vec{AD} = \vec{a}\), \(\vec{AB_1} = \vec{b}\) и \(\vec{AA_1} = \vec{c}\).
   Тогда \(\vec{AE} = \frac{4}{5}\vec{AB}\).
   Следовательно, \(\vec{DE} = \vec{DA} + \vec{AE} = -\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{AB}\).
   Чтобы найти \(\vec{AB}\), заметим, что \(\vec{AB}\) — диагональ грани, образованной векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{DA'} = -\vec{b}\) (если \(\vec{b} = \vec{AB_1}\)).
   Согласно рисунку, \(\vec{AD} = \vec{a}\), \(\vec{DC} = \vec{b}\), \(\vec{DD_1} = \vec{c}\).
   Тогда \(\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{AB'} = \vec{a} + \vec{b}\) (при условии, что \(\vec{AB'} = \vec{b}\), что противоречит рисунку).
   По рисунку: \(\vec{AD} = \vec{a}\), \(\vec{DC} = \vec{b}\), \(\vec{DD_1} = \vec{c}\).
   Тогда \(\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{AB'} = \vec{a} + \vec{b'}\) где \(\vec{b'} = \vec{AB'}\).
   Из рисунка видно, что \(\vec{AD} = \vec{a}\), \(\vec{AB} = \vec{b}\) и \(\vec{AA_1} = \vec{c}\).
   Точка E делит ребро AB так, что AE:EB = 4:1. Значит, \(\vec{AE} = \frac{4}{5}\vec{AB} = \frac{4}{5}\vec{b}\).
   \(\vec{DE} = \vec{DA} + \vec{AE} = -\vec{AD} + \vec{AE} = -\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}\).
   Вектор \(\vec{DE} = -1\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b} + 0\vec{c}\)
2. Вектор \(\vec{EF}\):
   \(\vec{EF} = \vec{EC} + \vec{CF}\).
   \(\vec{EC} = \vec{EA} + \vec{AC}\).
   \(\vec{EA} = -\vec{AE} = -\frac{4}{5}\vec{b}\).
   \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{b} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{a}\).
   \(\vec{EC} = -\frac{4}{5}\vec{b} + \vec{b} + \vec{a} = \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}\).
   \(\vec{CF} = \frac{1}{4}\vec{CC_1} = \frac{1}{4}\vec{c}\).
   \(\vec{EF} = \vec{EC} + \vec{CF} = (\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) + \frac{1}{4}\vec{c} = \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}\).
   Вектор \(\vec{EF} = 1\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}\)

Ответ:
\(\vec{DE} = -1\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b} + 0\vec{c}\);
\(\vec{EF} = 1\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}\).