Разберите решение примера 8 в § 24 учебника. 24.21. Решите уравнение: a) sin 2x cos x + cos 2x sin x = 1; б) cos 3x cos 5x = sin 3x sin 5x; B) sin 6x cosx + cos 6x sin x = 1 2 г) cos 5x cos 7x - sin 5x sin 7x = √3 2

Решение:

a) sin 2x cos x + cos 2x sin x = 1

Используем формулу синуса суммы: \( sin(\alpha + \beta) = sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \).

В нашем случае \( \alpha = 2x \) и \( \beta = x \), поэтому уравнение примет вид:

sin(2x + x) = 1

sin(3x) = 1

Общее решение уравнения \( sin(y) = 1 \) есть \( y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Следовательно, \( 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \).

Разделим обе части на 3:

\( x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

б) cos 3x cos 5x = sin 3x sin 5x

Перенесём все члены в одну сторону:

cos 3x cos 5x - sin 3x sin 5x = 0

Используем формулу косинуса суммы: \( cos(\alpha + \beta) = \u0063os \alpha \u0063os \beta - \u0073in \alpha \u0073in \beta \).

В нашем случае \( \alpha = 3x \) и \( \beta = 5x \), поэтому уравнение примет вид:

cos(3x + 5x) = 0

cos(8x) = 0

Общее решение уравнения \( cos(y) = 0 \) есть \( y = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Следовательно, \( 8x = \frac{\pi}{2} + \pi n \).

Разделим обе части на 8:

\( x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

B) sin 6x cosx + cos 6x sin x =
1
2

Используем формулу синуса суммы: \( sin(\alpha + \beta) = sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \).

В нашем случае \( \alpha = 6x \) и \( \beta = x \), поэтому уравнение примет вид:

sin(6x + x) =
1
2

sin(7x) =
1
2

Общее решение уравнения \( sin(y) =
1
2 \) есть \( y = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \).

Следовательно, \( 7x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m \).

Разделим обе части на 7:

\( x = (-1)^m \frac{\pi}{42} + \frac{\pi m}{7} \), где \( m \in \mathbb{Z} \).

г) cos 5x cos 7x - sin 5x sin 7x =
√3
2

Используем формулу косинуса суммы: \( cos(\alpha + \beta) = \u0063os \alpha \u0063os \beta - \u0073in \alpha \u0073in \beta \).

В нашем случае \( \alpha = 5x \) и \( \beta = 7x \), поэтому уравнение примет вид:

cos(5x + 7x) =
√3
2

cos(12x) =
√3
2

Общее решение уравнения \( cos(y) =
√3
2 \) есть \( y = ± \frac{\pi}{6} + 2\pi l \), где \( l \in \mathbb{Z} \).

Следовательно, \( 12x = ± \frac{\pi}{6} + 2\pi l \).

Разделим обе части на 12:

\( x = ± \frac{\pi}{72} + \frac{\pi l}{6} \), где \( l \in \mathbb{Z} \).

Ответ:

a) \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

б) \( x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

B) \( x = (-1)^m \frac{\pi}{42} + \frac{\pi m}{7} \), где \( m \in \mathbb{Z} \).

г) \( x = ± \frac{\pi}{72} + \frac{\pi l}{6} \), где \( l \in \mathbb{Z} \).