Расстояние между пристанями А и В равно 90 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 52 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение:

Пусть \( v_л \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч), а \( v_т \) — скорость течения реки (4 км/ч).

Расстояние между пристанями А и В равно 90 км.

Плот отправляется из А. Через час вслед за ним отправляется лодка.

Время, которое плот находился в пути до момента возвращения лодки в А: \( t_{плот} \).

Расстояние, которое проплыл плот за это время: 52 км.

Скорость плота равна скорости течения реки: \( v_{плот} = v_т = 4 \) км/ч.

Найдем время, которое плот находился в пути: \( t_{плот} = \frac{S_{плот}}{v_{плот}} = \frac{52 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 13 \) ч.

Лодка отправляется через 1 час после плота, значит, время движения лодки: \( t_{лодка} = t_{плот} - 1 \text{ ч} = 13 \text{ ч} - 1 \text{ ч} = 12 \) ч.

Скорость лодки по течению: \( v_{лодка, по} = v_л + v_т = v_л + 4 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v_{лодка, против} = v_л - v_т = v_л - 4 \) км/ч.

Расстояние, которое лодка проплыла по течению (от А до В): 90 км.

Расстояние, которое лодка проплыла против течения (от В до А): 90 км.

Общее время движения лодки: \( t_{лодка} = t_{по} + t_{против} = 12 \) ч.

Время движения лодки по течению: \( t_{по} = \frac{S_{по}}{v_{лодка, по}} = \frac{90}{v_л + 4} \) ч.

Время движения лодки против течения: \( t_{против} = \frac{S_{против}}{v_{лодка, против}} = \frac{90}{v_л - 4} \) ч.

Составим уравнение:

\( \frac{90}{v_л + 4} + \frac{90}{v_л - 4} = 12 \)

Разделим обе части уравнения на 6:

\( \frac{15}{v_л + 4} + \frac{15}{v_л - 4} = 2 \)

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{15(v_л - 4) + 15(v_л + 4)}{(v_л + 4)(v_л - 4)} = 2 \)

\( \frac{15v_л - 60 + 15v_л + 60}{v_л^2 - 16} = 2 \)

\( \frac{30v_л}{v_л^2 - 16} = 2 \)

\( 30v_л = 2(v_л^2 - 16) \)

\( 30v_л = 2v_л^2 - 32 \)

\( 2v_л^2 - 30v_л - 32 = 0 \)

Разделим на 2:

\( v_л^2 - 15v_л - 16 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 \). \( \sqrt{D} = 17 \).

\( v_л = \frac{15 \pm 17}{2} \)

\( v_{л1} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16 \) км/ч.

\( v_{л2} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) км/ч (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).

Проверим полученное значение скорости лодки:

Скорость лодки по течению = \( 16 + 4 = 20 \) км/ч.

Скорость лодки против течения = \( 16 - 4 = 12 \) км/ч.

Время движения по течению = \( \frac{90}{20} = 4.5 \) ч.

Время движения против течения = \( \frac{90}{12} = 7.5 \) ч.

Общее время движения лодки = \( 4.5 + 7.5 = 12 \) ч. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 16 км/ч.