Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 50 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Пусть $$v_л$$ - скорость лодки в неподвижной воде, а $$v_т$$ - скорость течения реки. Скорость течения реки $$v_т = 4$$ км/ч.

Плот прошел 50 км за время $$t_п = 50 / v_т = 50 / 4 = 12.5$$ часов. Лодка отправилась через 1 час после плота, значит, время движения лодки $$t_л = t_п - 1 = 12.5 - 1 = 11.5$$ часов.

Расстояние, пройденное лодкой по течению: $$S_{по} = (v_л + v_т) * t_{по}$$. Расстояние, пройденное лодкой против течения: $$S_{против} = (v_л - v_т) * t_{против}$$. Общее расстояние, пройденное лодкой, равно $$108 + 108 = 216$$ км. Время движения лодки по течению равно времени движения против течения, так как лодка повернула обратно сразу после прибытия в пункт В. Время в пути туда и обратно равно $$t_л = 11.5$$ часов. Значит, время движения в одну сторону $$t_{по} = t_{против} = 11.5 / 2 = 5.75$$ часов.

Расстояние, пройденное лодкой по течению: $$S_{по} = (v_л + 4) * 5.75 = 108$$. Отсюда $$v_л + 4 = 108 / 5.75 ≈ 18.78$$. $$v_л ≈ 18.78 - 4 = 14.78$$ км/ч.

Проверка: Расстояние, пройденное лодкой против течения: $$S_{против} = (14.78 - 4) * 5.75 = 10.78 * 5.75 ≈ 61.985$$ км. Это не равно 108 км. Следовательно, лодка не прибыла в пункт В за 5.75 часов. Время, за которое лодка доплыла до пункта В: $$t_{до} = 108 / (v_л + 4)$$. Время, за которое лодка вернулась: $$t_{обр} = 108 / (v_л - 4)$$. Общее время лодки: $$t_л = t_{до} + t_{обр} = 108 / (v_л + 4) + 108 / (v_л - 4) = 11.5$$.

Решаем уравнение: $$108(v_л - 4) + 108(v_л + 4) = 11.5(v_л^2 - 16)$$. $$108v_л - 432 + 108v_л + 432 = 11.5v_л^2 - 184$$. $$216v_л = 11.5v_л^2 - 184$$. $$11.5v_л^2 - 216v_л - 184 = 0$$. Используя квадратное уравнение, находим $$v_л = (216 ± √(216^2 - 4 * 11.5 * (-184))) / (2 * 11.5) = (216 ± √(46656 + 8464)) / 23 = (216 ± √55120) / 23 ≈ (216 ± 234.78) / 23$$. Так как скорость не может быть отрицательной, берем положительный корень: $$v_л ≈ (216 + 234.78) / 23 ≈ 450.78 / 23 ≈ 19.6$$ км/ч.