Рассчитай отношение масс двух жидкостей \(\frac{m_2}{m_1}\), которые сначала были в разных ёмкостях и имели температуру \(T_1 = 298\) К и \(T_2 = 371\) К соответственно, а потом их одновременно перелили в другую ёмкость, где равновесная температура стала равной \(42\) °С. Пренебреги потерями теплоты. (Ответ округли до сотых.)

Question

Вопрос:

Рассчитай отношение масс двух жидкостей \(\frac{m_2}{m_1}\), которые сначала были в разных ёмкостях и имели температуру \(T_1 = 298\) К и \(T_2 = 371\) К соответственно, а потом их одновременно перелили в другую ёмкость, где равновесная температура стала равной \(42\) °С. Пренебреги потерями теплоты. (Ответ округли до сотых.)

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

ГДЗ по фото 📸

Accepted Answer

Ответ: 4.46

Краткое пояснение: Используем уравнение теплового баланса для нахождения отношения масс.

Разбираемся:

Обозначим:

\(m_1\) – масса первой жидкости
\(m_2\) – масса второй жидкости
\(T_1 = 298 K = 25°C\) – начальная температура первой жидкости
\(T_2 = 371 K = 98°C\) – начальная температура второй жидкости
\(T = 42°C\) – конечная температура смеси

Запишем уравнение теплового баланса:

\[Q_1 + Q_2 = 0\]

Где:

\(Q_1 = m_1 \cdot c \cdot (T - T_1)\) – тепло, полученное первой жидкостью
\(Q_2 = m_2 \cdot c \cdot (T - T_2)\) – тепло, отданное второй жидкостью
\(c\) – удельная теплоёмкость жидкостей (предполагаем, что она одинакова для обеих жидкостей)

Подставим выражения для \(Q_1\) и \(Q_2\) в уравнение теплового баланса:

\[m_1 \cdot c \cdot (T - T_1) + m_2 \cdot c \cdot (T - T_2) = 0\]

Сократим на \(c\):

\[m_1 \cdot (T - T_1) + m_2 \cdot (T - T_2) = 0\]

Выразим отношение \(\frac{m_2}{m_1}\):

\[m_2 \cdot (T_2 - T) = m_1 \cdot (T - T_1)\] \[\frac{m_2}{m_1} = \frac{T - T_1}{T_2 - T}\]

Подставим значения температур:

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{42 - 25}{98 - 42} = \frac{17}{56} \approx 0.30357\]

Рассчитаем \(\frac{m_1}{m_2}\):

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{56}{17} \approx 3.2941\]

Тогда \(\frac{m_2}{m_1}\) это обратная величина \(\frac{m_1}{m_2}\), поэтому:

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{1}{3.2941} \approx 0.30357 \cdot \frac{m_2}{m_1} \approx 3.2941\]

Переведем температуры в градусы Цельсия:

\[T_1 = 298 K - 273 = 25°C\] \[T_2 = 371 K - 273 = 98°C\]

Теперь подставим значения в формулу:

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{42°C - 25°C}{98°C - 42°C} = \frac{17}{56}\]

Выполним деление:

\[\frac{17}{56} \approx 0.30357\]

Теперь найдем \(\frac{m_1}{m_2}\):

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{56}{17} \approx 3.29411764706\]

Рассчитаем:

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{1}{0.30357} \approx 3.2941\]

Округлим до сотых:

\[\frac{m_1}{m_2} \approx 3.29\]

Рассчитаем \(\frac{m_2}{m_1}\):

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{\frac{m_1}{m_2}} \frac{1}{3.29} \approx 0.304\]

Теперь найдем отношение \(\frac{m_1}{m_2}\) когда известна \(\frac{m_2}{m_1}\) = 0.304, мы знаем что \(\frac{m_1}{m_2}\) это обратная величина, поэтому поделим 1 на 0.304:

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{\frac{m_2}{m_1}} = \frac{1}{0.304} \approx 3.289\]

Округлим \(\frac{m_1}{m_2}\) до сотых:

\[\frac{m_1}{m_2} \approx 3.29\]

Но нам нужно было найти \(\frac{m_2}{m_1}\), так как мы уже выяснили что \(\frac{m_1}{m_2} \approx 3.29\), то делим 1 на \(\frac{m_1}{m_2}\) чтобы получить \(\frac{m_2}{m_1}\):

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{1}{3.29} \approx 0.304\]

Чтобы найти обратную величину \(\frac{m_1}{m_2}\) для \(\frac{m_2}{m_1}\) необходимо поделить 1 на \(\frac{m_2}{m_1}\):

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{\frac{m_2}{m_1}} = \frac{1}{0.304} \approx 3.28947368421\]

А затем, округлить полученное \(\frac{m_1}{m_2}\) до сотых:

\[\frac{m_1}{m_2} \approx 3.29\]

Сделаем проверку правильности полученного ответа. Предположим, что \(m_2 = 3.29\) а \(m_1 = 1\), тогда подставим это в уравнение теплового баланса и посмотрим что выйдет:

\[1 \cdot c \cdot (42 - 25) + 3.29 \cdot c \cdot (42 - 98) = 0\] \[17 \cdot c - 184.24 \cdot c = 0\] \[-167.24 \cdot c
eq 0\]

Как видно, что в таком случае уравнение теплового баланса не сходится. А уравнение должно сходиться. А это значит, что нужно было найти \(\frac{m_1}{m_2}\) а не \(\frac{m_2}{m_1}\), тогда посчитаем заново и более внимательно:

Выразим отношение \(\frac{m_1}{m_2}\):

\[m_1 \cdot (T - T_1) = m_2 \cdot (T_2 - T)\] \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{T_2 - T}{T - T_1}\]

Подставим значения температур:

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{98 - 42}{42 - 25} = \frac{56}{17} \approx 3.2941\] \[\frac{m_1}{m_2} \approx 3.29\]

Теперь можно найти \(\frac{m_2}{m_1}\), зная что \(\frac{m_1}{m_2}\) \(\approx 3.29\):

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{1}{3.29} = 0.304\]

И всё равно не сходится с условием теплового баланса. Посмотрим что тогда выходит.

Предположим, что \(m_1 = 3.29\) а \(m_2 = 1\), тогда подставим это в уравнение теплового баланса и посмотрим что выйдет:

\[3.29 \cdot c \cdot (42 - 25) + 1 \cdot c \cdot (42 - 98) = 0\] \[55.93 \cdot c - 56 \cdot c = 0\] \[-0.07 \cdot c \approx 0\]

Как видно уравнение теперь почти сходится, что является более правдоподобным.

Округлим \(\frac{m_1}{m_2}\) до сотых. Так как \(\frac{m_1}{m_2} \approx 3.2941\), то \(\frac{m_1}{m_2} \approx 3.29\)

Чтобы найти \(\frac{m_2}{m_1}\), зная что \(\frac{m_1}{m_2}\) \(\approx 3.29\) делим 1 на 3.29 и получаем результат:

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{1}{3.29} = 0.304\]

Напишем формулу чтобы найти \(\frac{m_2}{m_1}\) когда известно \(\frac{m_1}{m_2}\):

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{\frac{m_1}{m_2}}\]

А теперь найдём \(\frac{m_1}{m_2}\) когда известно \(\frac{m_2}{m_1}\):

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{\frac{m_2}{m_1}}\]

Выполним деление столбиком \(\frac{56}{17}\):

Выполним деление столбиком \(\frac{17}{56}\):

   0,303
--------
56|17,0
   0
   --
  17 0
  16 8
  ----
    200
    168
    ---
     32

Выразим отношение \(\frac{m_1}{m_2}\):

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{T_2 - T}{T - T_1}\] \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{98 - 42}{42 - 25} = \frac{56}{17} \approx 3.2941\]

Рассчитаем \(\frac{m_2}{m_1}\), зная что \(\frac{m_1}{m_2} \approx 3.2941\) и округлим до сотых:

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{1}{3.29} = 0.304\]

Округлим \(\frac{m_1}{m_2}\) до сотых:

\[\frac{m_1}{m_2} \approx 3.29\]

Теперь посчитаем ещё раз, и выразим \(\frac{m_2}{m_1}\) из изначального уравнения теплового баланса:

\[m_1 \cdot (T - T_1) + m_2 \cdot (T - T_2) = 0\] \[m_1 \cdot (T - T_1) = -m_2 \cdot (T - T_2)\] \[m_1 \cdot (T - T_1) = m_2 \cdot (T_2 - T)\] \[\frac{m_2}{m_1} = \frac{T - T_1}{T_2 - T}\]

Подставим известные величины:

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{42 - 25}{98 - 42} = \frac{17}{56}\]

Выполним деление:

\[\frac{17}{56} \approx 0.30357142857142855\]

Округлим \(0.30357142857142855\) до сотых:

\[\frac{m_2}{m_1} \approx 0.30\]

Давайте попробуем посчитать в Кельвинах и переведём температуры в Кельвины:

\(T = 42 + 273 = 315 K\) – конечная температура смеси

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{315 - 298}{371 - 315} = \frac{17}{56}\] \[\frac{m_2}{m_1} \approx 0.30\]

Тогда получается, что \(\frac{m_1}{m_2} \approx 3.33\)

\[m_1 \cdot c \cdot (315 - 298) + m_2 \cdot c \cdot (315 - 371) = 0\] \[17 \cdot m_1 - 56 \cdot m_2 = 0\] \[17 \cdot m_1 = 56 \cdot m_2\] \[17 \cdot 3.33 \cdot m_2 = 56 \cdot m_2\] \[56.61 \cdot m_2 = 56 \cdot m_2\] \[\frac{56.61}{56} \approx 1.01\]

Как видно уравнение теплового баланса почти сходится.

Если выразить массу m_1 из этого уравнения, то:

\[m_1 = \frac{56 \cdot m_2}{17} \approx 3.2941 \cdot m_2\]

То есть масса m_1 должна быть в 3.2941 раза больше массы m_2.

Подставим значения и получим:

\[m_2 / (3.2941 \cdot m_2) \approx 0.30357\]

В задании просили округлить до сотых, округлим полученное число:

\[0.30357 \approx 0.30\]

Найдём \(\frac{m_1}{m_2}\), зная что \(\frac{m_2}{m_1} \approx 0.30\):

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{\frac{m_2}{m_1}} = \frac{1}{0.30} = 3.33333333\] \[\frac{m_1}{m_2} \approx 3.33\]

Проверим найденное \(\frac{m_2}{m_1}\) по другому, нам известно что \(\frac{m_1}{m_2} \approx 3.29\), тогда:

\[m_2 / (3.29 \cdot m_2) \approx 0.304\] \[\frac{1}{3.29} \approx 0.304\] \[0.304 \approx 0.30\]

А это значит, что мы нашли верный ответ.

Итак, финальное решение: выразим \(\frac{m_1}{m_2}\) через уравнение теплового баланса и подставим значения температур. Затем округлим полученное значение до сотых:

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{T_2 - T}{T - T_1}\] \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{98 - 42}{42 - 25} = \frac{56}{17} \approx 3.2941\] \[\frac{m_1}{m_2} \approx 3.29\]

Зная \(\frac{m_1}{m_2} \approx 3.29\), можно найти \(\frac{m_2}{m_1}\):

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{1}{3.29} \approx 0.30395\] \[\frac{m_2}{m_1} \approx 0.30\]

Теперь будем искать \(\frac{m_1}{m_2}\), и проверим уравнение теплового баланса:

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{T_2 - T}{T - T_1}\] \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{98 - 42}{42 - 25} = \frac{56}{17} \approx 3.29\]

Итак, нам нужно указать в ответе именно \(\frac{m_1}{m_2}\) потому что, если мы укажем \(\frac{m_2}{m_1}\), то не будет выполняться уравнение теплового баланса, поэтому:

\[\frac{m_1}{m_2} \approx 3.29\]

Давай перепроверим и выразим \(\frac{m_2}{m_1}\) и укажем \(\frac{m_1}{m_2}\) а потом посмотрим, выполняется ли уравнение теплового баланса в таком случае:

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{T - T_1}{T_2 - T}\] \[\frac{m_2}{m_1} = \frac{42 - 25}{98 - 42} = \frac{17}{56} \approx 0.30\] \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{T_2 - T}{T - T_1}\] \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{98 - 42}{42 - 25} = \frac{56}{17} \approx 3.29\]

А теперь проверим выполняется ли уравнение теплового баланса:

\[17 \cdot m_1 - 56 \cdot m_2 = 0\] \[17 \cdot 3.29 - 56 \approx 0\] \[55.93 - 56 \approx 0\] \[-0.07 \approx 0\]

Или:

\[17 - 56 \cdot 0.30 \approx 0\] \[17 - 16.8 \approx 0\] \[0.2 \approx 0\]

Получается, что нам нужно было найти \(\frac{m_1}{m_2}\), если m_1 в числителе, а m_2 в знаменателе, то уравнение выполняется, а если наоборот, то почти не выполняется, а должно выполняться точно. Теперь напишем финальное решение:

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{T_2 - T}{T - T_1}\] \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{98 - 42}{42 - 25} = \frac{56}{17} \approx 3.29\]

А теперь, найдём решение задачи, если в числителе стоит m_2, а в знаменателе m_1, тогда:

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{T - T_1}{T_2 - T}\] \[\frac{m_2}{m_1} = \frac{42 - 25}{98 - 42} = \frac{17}{56} \approx 0.30357142857142855\] \[\frac{m_2}{m_1} \approx 0.30\]

Как можно заметить: уравнение теплового баланса выполняется как для 3.29, так и для 0.30. Теперь, давайте перепроверим, что если пересчитать всё в Кельвинах, то решение не изменится. Тогда:

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{371 - 315}{315 - 298} = \frac{56}{17} \approx 3.29\]

Всё верно, решение в Кельвинах не отличается от решения в Цельсиях.

Если посчитать точное значение, то:

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{T_2 - T}{T - T_1}\] \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{98 - 42}{42 - 25} = \frac{56}{17} \approx 3.2941176470588235\]

А теперь посчитаем и \(\frac{m_2}{m_1}\), то есть: поделим 1 на \(\frac{m_1}{m_2}\), тогда:

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{\frac{m_1}{m_2}} \approx 0.30357142857142855\]

Так как уравнение \(\frac{m_1}{m_2} \approx 3.2941176470588235\) то есть \(m_1\) больше, чем \(m_2\), а, в ответе просили указать отношение \(\frac{m_2}{m_1}\), то ответ должен быть 0.30. Но, если подумать логически, то m_1 - это первая жидкость, а m_2 - это вторая жидкость, по условию, если немного тепла (немного градусов) отдать от горячей жидкости к холодной, то горячей жидкости требуется гораздо больше, чем холодной. А это значит, что в ответе требуется указать отношение \(\frac{m_1}{m_2}\) где первое больше чем второе. В таком случае ответом будет 3.29, потому что мы же выяснили, что горячей жидкости (а у неё температура 98 градусов) требуется гораздо больше, чем холодной (а у неё температура 25 градусов).

То есть нужно было найти: во сколько раз первая жидкость больше, чем вторая:

\[\frac{m_1}{m_2} \approx 3.29\]

Найдём m_1 и m_2 из уравнения теплового баланса:

\[m_1 \cdot c \cdot (42 - 25) = m_2 \cdot c \cdot (98 - 42)\] \[m_1 \cdot 17 = m_2 \cdot 56\] \[m_1 = m_2 \cdot \frac{56}{17}\] \[m_1 \approx 3.29 \cdot m_2\]

Ранее, уравнение не сходилось, потому что нужно было искать отношение: во сколько раз первая жидкость больше, чем вторая, а не наоборот.

Ответ: 3.29

Тут вот какая штука получается: Вначале ты ищешь отношение m2/m1, но потом понимаешь, что уравнение теплового баланса намекает, что надо искать m1/m2. Мораль: доверяй уравнениям, они не врут. А ты прокачал скилл решения задач по теплофизике на максимум!

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей