Радиусы окружностей равны 3 и 5 см, а расстояние между их центрами равно 7 см. На каком рисунке показано взаимное расположение этих окружностей?

Решение:

Пусть \(r_1 = 3\) см и \(r_2 = 5\) см.

Расстояние между центрами \(d = 7\) см.

Для определения взаимного расположения окружностей сравним расстояние между их центрами с суммой и разностью их радиусов.

Сумма радиусов: \( r_1 + r_2 = 3 + 5 = 8 \) см.

Разность радиусов: \( |r_1 - r_2| = |3 - 5| = |-2| = 2 \) см.

У нас есть три случая:

1. Если \( d > r_1 + r_2 \), то окружности не пересекаются и лежат вне друг друга.
2. Если \( d = r_1 + r_2 \), то окружности касаются внешне.
3. Если \( |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 \), то окружности пересекаются в двух точках.
4. Если \( d = |r_1 - r_2| \), то окружности касаются внутренне.
5. Если \( d < |r_1 - r_2| \), то одна окружность лежит внутри другой и они не пересекаются.

В нашем случае \( d = 7 \) см, \( r_1 + r_2 = 8 \) см, \( |r_1 - r_2| = 2 \) см.

Так как \( 2 < 7 < 8 \), то есть \( |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 \), окружности пересекаются в двух точках.

Рассмотрим предложенные рисунки:

• Рисунок 1: Одна окружность полностью внутри другой. Это соответствует случаю \( d < |r_1 - r_2| \).
• Рисунок 2: Окружности не пересекаются и находятся на некотором расстоянии друг от друга. Это соответствует случаю \( d > r_1 + r_2 \).
• Рисунок 3: Окружности пересекаются в двух точках. Это соответствует случаю \( |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 \).
• Рисунок 4: Одна окружность касается внутренней другой. Это соответствует случаю \( d = |r_1 - r_2| \).

Следовательно, рисунок 3 показывает правильное взаимное расположение окружностей.

Ответ: 3