Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону \( \vec{r} = 2t^3 \vec{i} - t^2 \vec{j} \), где \( \vec{i} \) и \( \vec{j} \) орты осей X и Y. Определите для момента времени \( t = 1 \) с модуль скорости. Ответ округлите до десятых.

Решение:

Чтобы найти модуль скорости, сначала определим вектор скорости \( \vec{v} \), взяв производную от радиус-вектора \( \vec{r} \) по времени \( t \).

1. Найдем производную компонентов радиус-вектора:
• \( v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3) = 6t^2 \)
• \( v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(-t^2) = -2t \)
2. Запишем вектор скорости:
• \( \vec{v} = v_x \vec{i} + v_y \vec{j} = 6t^2 \vec{i} - 2t \vec{j} \)
3. Подставим значение времени \( t = 1 \) с в выражение для вектора скорости:
• \( \vec{v}(1) = 6(1)^2 \vec{i} - 2(1) \vec{j} = 6 \vec{i} - 2 \vec{j} \)
4. Найдем модуль вектора скорости (его величину):
• \( |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \)
• \( |\vec{v}(1)| = \sqrt{(6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \)
5. Округлим результат до десятых:
• \( \sqrt{40} \approx 6.3245 \)
• \( |\vec{v}(1)| \approx 6.3 \)

Ответ: 6.3