Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку М, параллельна хорде АВ.

Доказательство:

Пусть \( O \) — центр окружности, \( r \) — её радиус. \( AB \) — хорда, \( M \) — точка на окружности. Радиус \( OM \) делит хорду \( AB \) пополам, то есть \( AM = MB \).

Рассмотрим треугольник \( OAB \). Так как \( OA = OB = r \) (радиусы), этот треугольник является равнобедренным.

Проведём радиус \( OM \). По условию, \( OM \) делит хорду \( AB \) пополам, то есть \( M \) — середина хорды \( AB \) (это неверно, \( M \) — точка на окружности, а не обязательно середина хорды). Вернее, радиус, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей. Но здесь сказано, что радиус \( OM \) делит хорду \( AB \) пополам. Это означает, что \( OM \) является медианой в равнобедренном треугольнике \( OAB \).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой.

Следовательно, \( OM \) перпендикулярен хорде \( AB \).

\( ∠ OMA = 90^\circ \).

Теперь рассмотрим касательную, проведённую к окружности в точке \( M \). Обозначим её прямой \( l \).

Известно, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Следовательно, касательная \( l \) перпендикулярна радиусу \( OM \).

\( ∠ O M l = 90^\circ \).

Мы получили, что прямая \( AB \) перпендикулярна \( OM \), и касательная \( l \) также перпендикулярна \( OM \).

Если две прямые (\( AB \) и \( l \)) перпендикулярны одной и той же прямой (\( OM \)), то эти две прямые параллельны между собой.

Следовательно, касательная \( l \) параллельна хорде \( AB \).

Что и требовалось доказать.