Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а сумма катетов равна 17 см. Найдите периметр треугольника и его площадь.

Решение:

Пусть \(a\) и \(b\) — катеты прямоугольного треугольника, \(c\) — гипотенуза, \(r\) — радиус вписанной окружности, \(S\) — площадь, \(P\) — периметр.

Известно, что \(r = 2\) см и \(a+b = 17\) см.

Формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:

\( r = \frac{a+b-c}{2} \)

Подставим известные значения:

\( 2 = \frac{17-c}{2} \)

\( 4 = 17-c \)

\( c = 17-4 \)

\( c = 13 \) см.

Периметр треугольника:

\( P = a+b+c = 17 + 13 = 30 \) см.

Площадь прямоугольного треугольника:

\( S = \frac{1}{2}ab \)

Для нахождения \(ab\) используем теорему Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

Возведём в квадрат сумму катетов: \( (a+b)^2 = 17^2 \)

\( a^2 + 2ab + b^2 = 289 \)

Подставим \( a^2 + b^2 = c^2 = 13^2 = 169 \):

\( 169 + 2ab = 289 \)

\( 2ab = 289 - 169 \)

\( 2ab = 120 \)

\( ab = 60 \) см².

Теперь найдём площадь:

\( S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 60 = 30 \) см².

Ответ: Периметр треугольника равен 30 см, площадь треугольника равна 30 см².