Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.

Решение:

Для равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности и является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

1. Радиус описанной окружности \( R = 6 \).
2. В равностороннем треугольнике высота \( h \), медиана и биссектриса — это одна и та же линия.
3. Центр описанной окружности делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины.
4. То есть, радиус описанной окружности \( R \) составляет \( \frac{2}{3} \) высоты \( h \).
5. \( R = \frac{2}{3} h \)
6. Подставим значение \( R \): \( 6 = \frac{2}{3} h \)
7. Выразим \( h \): \( h = 6 \cdot \frac{3}{2} \)
8. Вычислим: \( h = 9 \)

Ответ: 9