рабата Пригонометрия 1) tg x - 2 tg x - 3 = 0 a) 2 sin^2 x - 7 cos x - 5 = 0 b) 8 sin^2 x - sin x cos x - cos^2 x =

Решение:

Данные уравнения относятся к тригонометрии.

1) \( \operatorname{tg}^2 x - 2 \operatorname{tg} x - 3 = 0 \)

1. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \operatorname{tg} x \).
2. Уравнение примет вид: \( t^2 - 2t - 3 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение относительно \( t \):
• Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).
• \( t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)
• \( t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)
4. Сделаем обратную замену:
• \( \operatorname{tg} x = 3 \Rightarrow x = \operatorname{arctg} 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
• \( \operatorname{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)

2) \( 2 \sin^2 x - 7 \cos x - 5 = 0 \)

1. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \):
2. \( 2(1 - \cos^2 x) - 7 \cos x - 5 = 0 \)
3. \( 2 - 2 \cos^2 x - 7 \cos x - 5 = 0 \)
4. \( -2 \cos^2 x - 7 \cos x - 3 = 0 \)
5. Умножим на -1: \( 2 \cos^2 x + 7 \cos x + 3 = 0 \)
6. Сделаем замену переменной: пусть \( y = \cos x \).
7. Уравнение примет вид: \( 2y^2 + 7y + 3 = 0 \).
8. Решим квадратное уравнение относительно \( y \):
• Дискриминант \( D = 7^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25 \).
• \( y_1 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 5}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5 \)
• \( y_2 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 5}{4} = -\frac{12}{4} = -3 \)
9. Сделаем обратную замену:
• \( \cos x = -0.5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)
• \( \cos x = -3 \) — решений нет, так как \( -1 \le \cos x \le 1 \).

3) \( 8 \sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0 \)

1. Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
2. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \), предполагая, что \( \cos x \neq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и уравнение примет вид \( 8(\pm 1)^2 = 0 \), что неверно. Значит, \( \cos x \neq 0 \).
3. \( 8 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)
4. \( 8 \operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x - 1 = 0 \)
5. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \operatorname{tg} x \).
6. Уравнение примет вид: \( 8t^2 - t - 1 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение относительно \( t \):
• Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(8)(-1) = 1 + 32 = 33 \).
• \( t_1 = \frac{1 + \sqrt{33}}{16} \)
• \( t_2 = \frac{1 - \sqrt{33}}{16} \)
8. Сделаем обратную замену:
• \( \operatorname{tg} x = \frac{1 + \sqrt{33}}{16} \Rightarrow x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1 + \sqrt{33}}{16}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
• \( \operatorname{tg} x = \frac{1 - \sqrt{33}}{16} \Rightarrow x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1 - \sqrt{33}}{16}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: 1) \( x = \operatorname{arctg} 3 + \pi k, x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z} \); 2) \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \); 3) \( x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{16}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z} \).