r), f(x) = 3cos(2x-\frac{\pi}{4} д). у(х) = 4√x²-1 c).g(x) = 3^(2x) -4.7^(2x) ж). h(x) = 5,3+31g(1-x) 2. Написать уравнение касательной к графику функции f(x)=7x⁴-3x² +1 в точке х₀ = 0 3ело движется по закону s(t)=3t³-2t² +1 (м.) Найти скорость тела в момент времени 2 сек. и время, при котором ускорение тела будет равно нулю. Периметр прямоугольника равен 36м. При каких размерах прямоугольника его площадь будет наибольшей? 5. Найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x)=\frac{x³}{6} - \frac{x²}{2} +2 на отрезке [-2;2] 6. Исследовать при помощи производной и построить график функции h(x) = -2x² +5x+7

1. Функции:

• r) f(x) = 3cos(2x - \frac{\pi}{4})
• д) y(x) = 4\sqrt{x^2 - 1}
• e) g(x) = 3^{2x} - 4 \cdot 7^{2x}
• ж) h(x) = 5.3 + 3lg(1-x)

2. Уравнение касательной к графику функции f(x) = 7x⁴ - 3x² + 1 в точке x₀ = 0:

Для нахождения уравнения касательной воспользуемся формулой: y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

• Шаг 1: Находим значение функции в точке x₀ = 0: f(0) = 7(0)⁴ - 3(0)² + 1 = 1
• Шаг 2: Находим производную функции: f'(x) = 28x³ - 6x
• Шаг 3: Находим значение производной в точке x₀ = 0: f'(0) = 28(0)³ - 6(0) = 0
• Шаг 4: Подставляем значения в формулу касательной: y = 1 + 0(x - 0) = 1

Ответ: y = 1

3. Движение тела по закону s(t) = 3t³ - 2t² + 1:

• Шаг 1: Находим скорость тела в момент времени 2 сек: v(t) = s'(t) = 9t² - 4t v(2) = 9(2)² - 4(2) = 36 - 8 = 28 м/с
• Шаг 2: Находим ускорение тела: a(t) = v'(t) = 18t - 4
• Шаг 3: Находим время, когда ускорение тела равно нулю: 18t - 4 = 0 t = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} сек

Ответ: Скорость в момент времени 2 сек: 28 м/с, время при нулевом ускорении: \frac{2}{9} сек

4. Прямоугольник с периметром 36м:

Пусть x и y - стороны прямоугольника. Тогда 2x + 2y = 36, следовательно, x + y = 18, y = 18 - x. Площадь прямоугольника S = x \cdot y = x(18 - x) = 18x - x². Нужно найти максимум этой функции.

• Шаг 1: Находим производную площади по x: S'(x) = 18 - 2x
• Шаг 2: Находим критические точки (S'(x) = 0): 18 - 2x = 0 x = 9
• Шаг 3: Проверяем, что это максимум (вторая производная отрицательна): S''(x) = -2 (действительно отрицательна)
• Шаг 4: Находим y: y = 18 - x = 18 - 9 = 9

Ответ: Размеры прямоугольника: 9м x 9м (квадрат)

5. Наименьшее и наибольшее значение функции f(x) = \frac{x³}{6} - \frac{x²}{2} + 2 на отрезке [-2; 2]:

• Шаг 1: Находим производную функции: f'(x) = \frac{x²}{2} - x
• Шаг 2: Находим критические точки (f'(x) = 0): \frac{x²}{2} - x = 0 x(\frac{x}{2} - 1) = 0 x = 0, x = 2
• Шаг 3: Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках: f(-2) = \frac{(-2)³}{6} - \frac{(-2)²}{2} + 2 = -\frac{8}{6} - \frac{4}{2} + 2 = -\frac{4}{3} - 2 + 2 = -\frac{4}{3} f(0) = \frac{0³}{6} - \frac{0²}{2} + 2 = 2 f(2) = \frac{2³}{6} - \frac{2²}{2} + 2 = \frac{8}{6} - \frac{4}{2} + 2 = \frac{4}{3} - 2 + 2 = \frac{4}{3}

Ответ: Наименьшее значение: -\frac{4}{3}, наибольшее значение: 2

6. Исследование функции h(x) = -2x² + 5x + 7:

• Шаг 1: Находим производную функции: h'(x) = -4x + 5
• Шаг 2: Находим критические точки (h'(x) = 0): -4x + 5 = 0 x = \frac{5}{4} = 1.25
• Шаг 3: Находим вторую производную функции: h''(x) = -4

Так как вторая производная отрицательна, то x = 1.25 - точка максимума.

• Шаг 4: Находим значение функции в точке максимума: h(1.25) = -2(1.25)² + 5(1.25) + 7 = -2(1.5625) + 6.25 + 7 = -3.125 + 6.25 + 7 = 10.125

График функции:

Ответ: Функция имеет максимум в точке x = 1.25, h(1.25) = 10.125. График выше.