Пятизначное число умножили на восемь и получили пятизначное. Все цифры пятизначного множителя и произведения оказались стёртыми. Известно, что среди них нет повторяющихся цифр, а цифры множителя расположены строго в порядке возрастания. Найдите и запишите: 1) стёртый множитель: 2) полученное произведение:

Решение:

Обозначим пятизначное число как \( N \). По условию, \( N \) умножили на 8, и результат также является пятизначным числом. Все цифры множителя и произведения стёрты. Известно, что все цифры в множителе и произведении не повторяются, а цифры множителя расположены строго в порядке возрастания.

Пусть множитель — это число \( abcde \), где \( a < b < c < d < e \) и все цифры различны. Так как множитель пятизначный, то \( a \neq 0 \). Поскольку цифры расположены в порядке возрастания, наименьшая возможная цифра для \( a \) — это 1, а наибольшая — 4 (так как нужно ещё 4 цифры после неё, а всего цифр 10: 0-9).

Произведение \( N \cdot 8 \) также является пятизначным числом. Это означает, что \( N \cdot 8 < 100000 \), следовательно, \( N < \frac{100000}{8} = 12500 \).

Так как \( N \) — пятизначное число, и его цифры идут в порядке возрастания, начнём перебирать возможные множители, которые меньше 12500.

Рассмотрим возможные цифры для множителя:

• Если \( a=1 \), то следующие цифры должны быть больше 1. Возможные наборы цифр: 12345, 12346, ..., 12349, 12356, ...

Попробуем проверить множители, начинающиеся с 1, и являющиеся пятизначными. Наибольшее возможное пятизначное число, цифры которого идут в порядке возрастания и оно меньше 12500, будет содержать цифры 1, 2, 3, 4, 5. То есть 12345.

Проверим произведение \( 12345 \cdot 8 \):

\( 12345 \cdot 8 = 98760 \)

Полученное произведение — 98760. Оно является пятизначным числом.

Теперь проверим условия:

• Цифры множителя (1, 2, 3, 4, 5) не повторяются и расположены в порядке возрастания.
• Цифры произведения (9, 8, 7, 6, 0) не повторяются.

Эти условия выполняются.

Следовательно, стёртый множитель — 12345, а полученное произведение — 98760.

Ответ: 1) стёртый множитель: 12345; 2) полученное произведение: 98760.