Пусть периметр всех указанных фигур одинаковый. Какая фигура имеет наибольшую площадь? Варианты: правильный треугольник; квадрат; правильный шестиугольник; равнобедренный прямоугольный треугольник; ромб с меньшим углом, равным 60°.

При фиксированном периметре площадь правильного многоугольника тем больше, чем больше у него сторон. Среди правильных многоугольников здесь это правильный шестиугольник.

Сравним остальные варианты с квадратом. У равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом a периметр равен a(2 + √2), а площадь — a²/2. При том же периметре его площадь меньше площади квадрата. У ромба с углом 60° площадь равна d² sin 60°, где d — сторона; при фиксированном периметре она также меньше площади квадрата. Правильный треугольник при том же периметре имеет меньшую площадь, чем квадрат.

Ответ: правильный шестиугольник.