Пункты А и Б, расстояние между которыми 300 км, расположены на прямом участке железной дороги. Из пунктов А и Б одновременно по этой дороге с постоянными скоростями выехали пассажирский и грузовой поезда. Пассажирский поезд идёт с постоянной скоростью 120 км/ч, грузовой — с постоянной скоростью 80 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час после начала движения? Найдите все возможные варианты.

Решение:

Задачу можно решить двумя способами, в зависимости от того, в каком направлении едут поезда:

1. Поезда едут навстречу друг другу:
   Скорость сближения поездов равна сумме их скоростей: \( v_{сближения} = v_{пасс} + v_{груз} = 120 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 200 \text{ км/ч} \).
   Через час расстояние между ними сократится на \( 200 \text{ км} \).
   Новое расстояние: \( S = 300 \text{ км} - 200 \text{ км} = 100 \text{ км} \).
2. Поезда едут в одном направлении (из А в Б или из Б в А):
   Предположим, пассажирский поезд едет из А в Б, а грузовой — из Б в А. Они едут навстречу друг другу.
   Если оба едут из А в Б (или из Б в А), то расстояние между ними будет равно разности их скоростей, умноженной на время.
   Скорость удаления (или сближения, если пассажирский отстает) равна разности их скоростей: \( v_{удаления} = |v_{пасс} - v_{груз}| = |120 \text{ км/ч} - 80 \text{ км/ч}| = 40 \text{ км/ч} \).
   Через час расстояние между ними изменится на \( 40 \text{ км} \).
   В этом случае есть два варианта:
   а) Пассажирский поезд выехал из А, грузовой — из Б. Если они едут друг к другу, то расстояние будет 100 км.
   б) Если оба поезда едут в одном направлении (например, из А в Б), то пассажирский поезд, как более быстрый, будет удаляться от грузового. Через час расстояние между ними будет \( 300 \text{ км} - (120 \text{ км/ч} - 80 \text{ км/ч}) \times 1 \text{ ч} = 300 \text{ км} - 40 \text{ км} = 260 \text{ км} \).
   в) Если оба поезда едут из Б в А, то грузовой поезд будет удаляться от пассажирского. Через час расстояние между ними будет \( 300 \text{ км} - (120 \text{ км/ч} - 80 \text{ км/ч}) \times 1 \text{ ч} = 300 \text{ км} - 40 \text{ км} = 260 \text{ км} \).
3. Поезда едут в противоположных направлениях (от А и от Б):
   Это значит, что один поезд едет от А в сторону, противоположную Б, а другой — от Б в сторону, противоположную А.
   В этом случае расстояние между ними будет равно сумме начального расстояния и расстояния, которое они проедут за час:
   \( S = 300 \text{ км} + (120 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч}) + (80 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч}) = 300 \text{ км} + 120 \text{ км} + 80 \text{ км} = 500 \text{ км} \).

Ответ: Возможны следующие варианты расстояния между поездами через час: 100 км (если едут навстречу), 260 км (если едут в одном направлении), 500 км (если едут в противоположных направлениях).