Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 133°, ∠2 = 43°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Прямые \( m \) и \( n \) параллельны. Угол \( \angle 1 \) и угол, смежный с \( \angle 2 \), являются накрест лежащими при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей. Однако, это не так.

Рассмотрим секущую, которая пересекает прямые \( m \) и \( n \).

Угол \( \angle 1 = 133^{\circ} \). Угол, смежный с \( \angle 1 \), равен \( 180^{\circ} - 133^{\circ} = 47^{\circ} \). Этот угол и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей. Следовательно, \( \angle 3 = 47^{\circ} \).

Другой вариант:

Угол \( \angle 1 = 133^{\circ} \). Угол \( \angle 2 = 43^{\circ} \).

Найдем угол \( \angle 3 \).

Угол, смежный с \( \angle 1 \), равен \( 180^{\circ} - 133^{\circ} = 47^{\circ} \).

Угол \( \angle 2 = 43^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник, образованный секущей и прямыми \( m \) и \( n \). Углы при основании (на прямой \( n \)) будут \( \angle 2 \) и угол, смежный с \( \angle 3 \).

Давайте найдем угол, который образует секущая с прямой \( m \), смежный с \( \angle 1 \). Этот угол равен \( 180^{\circ} - 133^{\circ} = 47^{\circ} \).

Теперь рассмотрим углы, образованные второй секущей. Угол \( \angle 2 = 43^{\circ} \).

Угол \( \angle 3 \) и угол \( \angle 2 \) являются углами, накрест лежащими при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей. Это неверно, так как \( \angle 3 \) и \( \angle 2 \) не являются накрест лежащими.

Угол \( \angle 1 = 133^{\circ} \). Угол, накрест лежащий с \( \angle 1 \), равен \( 133^{\circ} \). Угол, соответствующий \( \angle 1 \), равен \( 133^{\circ} \).

Угол, смежный с \( \angle 1 \), равен \( 180^{\circ} - 133^{\circ} = 47^{\circ} \). Этот угол и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей. Следовательно, \( \angle 3 = 47^{\circ} \).

Проверка:

Угол \( \angle 2 = 43^{\circ} \). Угол, смежный с \( \angle 3 \) на прямой \( n \) равен \( 180^{\circ} - 47^{\circ} = 133^{\circ} \).

Угол \( \angle 2 = 43^{\circ} \).

В треугольнике, образованном двумя секущими и прямой \( n \), сумма углов равна \( 180^{\circ} \).

Угол при вершине на прямой \( n \) равен \( 43^{\circ} \).

Угол, смежный с \( \angle 3 \) на секущей, равен \( 180^{\circ} - 47^{\circ} = 133^{\circ} \).

Рассмотрим другой подход:

Пусть \( \beta \) — угол, смежный с \( \boldsymbol{ \boldsymbol{\angle} } 1 \). Тогда \( \boldsymbol{ \boldsymbol{\beta} } = 180^{\circ} - 133^{\circ} = 47^{\circ} \).

Так как прямые \( m \) и \( n \) параллельны, то \( \boldsymbol{ \boldsymbol{\angle} } 3 \) и \( \boldsymbol{ \boldsymbol{\beta} } \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей. Следовательно, \( \boldsymbol{ \boldsymbol{\angle} } 3 = \boldsymbol{ \boldsymbol{\beta} } = 47^{\circ} \).

Ответ: ∠3 = 47°.