Прямые m и n параллельны. Известно, что ∠1 + ∠2 = 136°. Найди по рисунку ∠3.

Решение:

Прямые \( m \) и \( n \) параллельны, а прямая \( k \) является секущей.

Углы \( ∠1 \) и \( ∠2 \) являются смежными углами, поэтому их сумма равна 180°. Однако, по условию задачи, \( ∠1 + ∠2 = 136° \). Это противоречие указывает на то, что \( ∠1 \) и \( ∠2 \) на самом деле не смежные, а являются односторонними углами при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей \( k \).

Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна 180°. Если \( ∠1 + ∠2 = 136° \), это означает, что \( ∠1 \) и \( ∠2 \) являются углами, которые в сумме составляют 136°.

Угол \( ∠1 \) и угол, смежный с \( ∠2 \) (назовем его \( ∠2' \)), являются односторонними, поэтому \( ∠1 + ∠2' = 180° \).

Угол \( ∠2 \) и угол \( ∠3 \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей \( k \). Следовательно, \( ∠2 = ∠3 \).

Углы \( ∠1 \) и \( ∠2 \) смежные. То есть, \( ∠1 + ∠2 = 180° \).

Из условия задачи имеем: \( ∠1 + ∠2 = 136° \). Это означает, что \( ∠1 \) и \( ∠2 \) не смежные углы.

Рассмотрим углы \( ∠1 \) и \( ∠2 \) как углы, образованные пересечением секущей \( k \) с параллельными прямыми \( m \) и \( n \). Углы \( ∠1 \) и \( ∠2 \) являются соответственными углами. Следовательно, \( ∠1 = ∠2 \).

Если \( ∠1 = ∠2 \) и \( ∠1 + ∠2 = 136° \), то \( 2 ∠1 = 136° \), откуда \( ∠1 = 68° \) и \( ∠2 = 68° \).

Угол \( ∠3 \) и угол \( ∠2 \) являются вертикальными углами. Вертикальные углы равны.

Следовательно, \( ∠3 = ∠2 = 68° \).

Альтернативное решение:

Углы \( ∠1 \) и \( ∠2 \) являются смежными, если секущая \( k \) проходит между параллельными прямыми \( m \) и \( n \) в одной точке пересечения. В данном случае, \( ∠1 \) и \( ∠2 \) находятся на одной прямой. Углы \( ∠1 \) и \( ∠2 \) являются смежными, их сумма равна 180°.

Из условия задачи \( ∠1 + ∠2 = 136° \).

Если \( ∠1 \) и \( ∠2 \) являются смежными, то \( ∠1 + ∠2 = 180° \).

Угол \( ∠3 \) и угол \( ∠2 \) являются вертикальными. Следовательно, \( ∠3 = ∠2 \).

Угол \( ∠1 \) и угол \( ∠3 \) являются односторонними углами при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей \( k \). Сумма односторонних углов равна 180°. Следовательно, \( ∠1 + ∠3 = 180° \).

Из условия \( ∠1 + ∠2 = 136° \).

Подставим \( ∠2 = ∠3 \) в условие: \( ∠1 + ∠3 = 136° \).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) \( ∠1 + ∠3 = 180° \) (односторонние углы)

2) \( ∠1 + ∠3 = 136° \) (из условия, подставив \( ∠2 \) через \( ∠3 \))

Это снова приводит к противоречию.

Вернемся к первому решению, где \( ∠1 \) и \( ∠2 \) — соответственные углы.

Прямые \( m \) и \( n \) параллельны, \( k \) — секущая.

Углы \( ∠1 \) и \( ∠2 \) — соответственные, следовательно, \( ∠1 = ∠2 \).

Дано: \( ∠1 + ∠2 = 136° \).

Заменим \( ∠2 \) на \( ∠1 \): \( ∠1 + ∠1 = 136° \).

\( 2 ∠1 = 136° \).

\( ∠1 = 136° / 2 = 68° \).

Так как \( ∠1 = ∠2 \), то \( ∠2 = 68° \).

Углы \( ∠2 \) и \( ∠3 \) — вертикальные. Вертикальные углы равны.

Следовательно, \( ∠3 = ∠2 = 68° \).

Ответ: 68