Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если \(\angle\) ОАВ = 30°, АВ = 5 см.

Решение:

1. Так как АВ — касательная к окружности, то радиус ОВ перпендикулярен касательной в точке касания. Следовательно, \( \angle ОВА = 90^{\circ} \).
2. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ОВА \) известен катет \( АВ = 5 \) см и прилежащий к нему острый угол \( \angle ОАВ = 30^{\circ} \).
3. Отрезок ОВ является противолежащим катетом к углу \( \angle ОАВ \). Используем тангенс угла: \( \text{tg} \angle ОАВ = \frac{ОВ}{АВ} \).
4. Выразим ОВ: \( ОВ = АВ \cdot \text{tg} \angle ОАВ = 5 \cdot \text{tg} 30^{\circ} \).
5. Значение \( \text{tg} 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
6. \( ОВ = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \) см.
7. Так как АС — касательная, то \( \angle ОСА = 90^{\circ} \). \( \triangle ОВА \) и \( \triangle ОСА \) — прямоугольные треугольники.
8. ОВ и ОС — радиусы окружности, поэтому \( ОВ = ОС = \frac{5}{\sqrt{3}} \) см.
9. Рассмотрим \( \triangle ОВС \). ОВ = ОС, значит, \( \triangle ОВС \) — равнобедренный.
10. В \( \triangle ОВА \) угол \( \angle АОВ = 90^{\circ} - \angle ОАВ = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
11. Аналогично, в \( \triangle ОСА \), угол \( \angle АОС = 90^{\circ} - \angle ОАС \). Так как \( \triangle ОВА \) и \( \triangle ОСА \) равны (по гипотенузе и катету: ОА — общая гипотенуза, ОВ = ОС — катеты), то \( \angle ОАС = \angle ОАВ = 30^{\circ} \).
12. Следовательно, \( \angle АОС = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
13. Угол \( \angle ВОС = \angle АОВ + \angle АОС = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
14. В равнобедренном \( \triangle ОВС \) углы при основании равны: \( \angle ОВС = \angle ОСВ = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
15. Теперь найдём сторону ВС в \( \triangle ОВС \) по теореме косинусов: \( ВС^2 = ОВ^2 + ОС^2 - 2 \cdot ОВ \cdot ОС \cdot \cos \angle ВОС \).
16. \( ВС^2 = \left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^2 - 2 \cdot \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \cos 120^{\circ} \).
17. \( \cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2} \).
18. \( ВС^2 = \frac{25}{3} + \frac{25}{3} - 2 \cdot \frac{25}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \).
19. \( ВС^2 = \frac{50}{3} + \frac{25}{3} = \frac{75}{3} = 25 \).
20. \( ВС = \sqrt{25} = 5 \) см.

Ответ: 5 см.