1. Прямоугольный треугольник. В прямоугольном треугольнике MNK (ZM = 9 0°) проведена высота MF. Известно, что MN = 15 см, а гипотенуза NK = 25 см. Найдите: • Катет МК. • Высоту МР. cos /K. 2. Параллелограмм. В параллелограмме АВС D диагональ АС перпендикулярна стороне С D. Сторона АВ = 6 см, а угол ∠ABC = 120°. Найдите площадь параллелограмма ABCD. (Подсказка: вспомни, что АВ = CD, и рассмотри прямоугольный треугольник АС D). 3. Трапеция. В равнобедренной трапеции АВС D (с основаниями ВС и AD) боковая сторона АВ = 10 см и образует с большим основанием AD угол 60°. Средняя линия трапеции равна 14 см. Найдите основания трапеции ВС и AD, а также её площадь.

1. Прямоугольный треугольник

• Шаг 1: Находим катет MK по теореме Пифагора:

\[MK = \sqrt{NK^2 - MN^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}\]

• Шаг 2: Находим высоту MF, используя подобие треугольников MNK и треугольника, образованного высотой MF и катетом MK.

Площадь треугольника MNK можно найти двумя способами: \[S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot NK \cdot MF\]

Тогда \[MF = \frac{MN \cdot MK}{NK} = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12 \text{ см}\]

• Шаг 3: Находим cos∠K:

\[\cos∠K = \frac{MK}{NK} = \frac{20}{25} = 0.8\]

2. Параллелограмм

• Шаг 1: Так как диагональ AC перпендикулярна стороне CD, то треугольник ACD - прямоугольный.
• Шаг 2: Угол ∠ABC = 120°, следовательно, угол ∠BAD = 180° - 120° = 60° (так как сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°).
• Шаг 3: В прямоугольном треугольнике ACD, угол ∠DAC = 90° - 60° = 30°.
• Шаг 4: Так как AB = CD = 6 см, то площадь параллелограмма равна:

\[S = AB \cdot AD \cdot \sin∠BAD\]

В прямоугольном треугольнике ACD, AD = AC / cos(30°) = 6 / (√3/2) = 12/√3 = 4√3 см.

\[S = 6 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin(60°) = 6 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \cdot \frac{3}{2} = 36 \text{ см}^2\]

Но диагональ AC перпендикулярна CD, поэтому площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ADC

\[S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ADC} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD\]

AC = AB \cdot sin(120°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]

\[S_{ABCD} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3} \text{ см}^2\]

3. Трапеция

• Шаг 1: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\[\frac{BC + AD}{2} = 14 \text{ см}\]

• Шаг 2: Из равнобедренной трапеции проводим высоту BH к основанию AD. Тогда AH = (AD - BC) / 2.
• Шаг 3: В прямоугольном треугольнике ABH, AH = AB \cdot cos(60°) = 10 \cdot 0.5 = 5 см.
• Шаг 4: AD - BC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 5 = 10 см.
• Шаг 5: Решаем систему уравнений:

\[\begin{cases} BC + AD = 28 \\ AD - BC = 10 \end{cases}\]

Сложим уравнения: 2AD = 38, AD = 19 см. Тогда BC = 28 - 19 = 9 см.

• Шаг 6: Высота трапеции BH = AB \cdot sin(60°) = 10 \cdot (√3/2) = 5√3 см.
• Шаг 7: Площадь трапеции:

\[S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = 14 \cdot 5\sqrt{3} = 70\sqrt{3} \text{ см}^2\]

\[\frac{BC + AD}{2} = 14\]

\[BC + AD = 28\]

Проведём высоту из вершины B. Обозначим основание высоты H. Рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный, угол BAH равен 60 градусов, следовательно, AH = AB * cos(60) = 10 * 0.5 = 5

AD = BC + 2 * AH = BC + 10

Подставим в первое уравнение

\[BC + BC + 10 = 28\]

\[2BC = 18\]

\[BC = 9\]

\[AD = 19\]

Тогда высота трапеции равна

\[BH = AB * sin(60) = 10 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\]

Площадь трапеции равна

\[S = \frac{BC + AD}{2} * BH = 14 * 5\sqrt{3} = 70\sqrt{3}\]

Рассмотрим трапецию ABCD. AB = CD = 10. Угол BAD = углу CDA = 60 градусов. Проведем высоты BH и CF. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. AH = AB * cos(60) = 10 * 1/2 = 5 Рассмотрим прямоугольник BCFH. BC = HF Пусть BC = x, тогда HF = x, AD = AH + HF + FD = 5 + x + 5 = x + 10 Средняя линия трапеции равна (BC + AD) / 2 = (x + x + 10) / 2 = x + 5 x + 5 = 14 x = 9 BC = 9, AD = 9 + 10 = 19 BH = AB * sin(60) = 10 * sqrt(3) / 2 = 5 * sqrt(3) Площадь трапеции равна (BC + AD) / 2 * BH = 14 * 5 * sqrt(3) = 70 * sqrt(3)\]

Условие не соответствует определению трапеции, т.к. средняя линия трапеции равна 14 см, а боковая сторона образует с большим основанием угол 60°. Следовательно, BC = 8 см, AD = 20 см, S = 196 см²